c tance CB' est un quadrant. Ainsi le sommet

B' est distant des points A et C d’un quadrant; donc il est le pôle de l’arc AC.

On démontrerait de la même manière que les sommets A' et C' sont les pôles de BC et de AB.

Remarque /. — Les trois circonférences de grands cercles décrites des points A, B, C, comme pôles déterminent huit triangles A'B'C', A'C'B', A'B'C', A'C'B', A'B’C', A'C'B', A'B'C", A"C"B\ et les / X \ sommets de chacun de ces triangles sont

c':~- -L/i V respectivement les pôles des côtés du pre-

Ij. ' -c/c' mier triangle ABC. Mais le triangle A'B'C'

\ B\ ; 7 ~~ y peut se distinguer des autres en ce que les

sommets A et A' sont situés du même côté de l’arc BC, B et B' du même côté de AC, C et C' du même côté de AB.

Le triangle A'B'C' est appelé le triangle polaire du triangle ABC.

2t)4 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE. LIVRE VIH.

Remarque II. — Puisque le point A' est le pôle de l’arc BC et que les deux sommets A', A, sont du môme côté de BC, il s’ensuit que la distance A'A est moindre qu’un quadrant, et il en est de même des distances B' B, C'C. Donc, en remarquant que le point A est le pôle de l’arc B'C', on pourra conclure que les sommets A', A, sont situés du même côté de l’arc B'C', et on verrait de môme que les sommets B', B, sont du môme côté de A'C', et que C\ C, sont du même côté de A' B'; donc réciproquement le triangle ABC est le triangle polaire du triangle A' B'C'.

On dit aussi que les triangles ABC, A'B'C', sont supplémentaires l’un de l’autre.

Remarque III. — Les deux angles trièdres ÜABC, OA'B'C', sont supplémentaires (385). Car, le point A' étant le pôle de l’arc BC et la distance AA' étant moindre qu’un quadrant, on voit que la droite OA' est perpendiculaire au plan BOC, et qu’elle fait un angle aigu avec l’arôte OA, et ainsi de suite.

Donc, les côtés du triangle A'B'C' sont les suppléments des angles du triangle ABC et les côtés du triangle ABC sont les suppléments des angles du triangle A'B'C'.

515. Remarque IF. — Il est facile de démontrer directement que chacun des angles d’un triangle sphérique a pour mesure une demi-circonférence, moins le côté ■ opposé de son triangle polaire.

Soient les deux triangles polaires ABC, A'B'C', et prolongeons les côtés AB, AC, par exemple, jusqu’à la rencontre de B'C* aux points D, E. Les arcs AD, AE, seront des quadrants, et, par conséquent, l’angle A aura pour mesure l’arc DE (535).

D’ailleurs, on a

DE = B'E-t-C'D — B'C',

et, comme B'E est un quadrant, ainsi que C'D, il vient DE = - circonf. — B'C' ;

donc, l’angle A a pour mesure une demi-circonférence, moins le côté B'C', qui lui est opposé dans le triangle polaire.

On aurait pareillement :

Mesure de A' = FG ,