BG + CF — BC

= - circonf. — BC .

TUIAKGI.es ET POLYGONES SI'IIÊRIQIES. aq5

TiUorKm! IV.

546. Dans loul triangle sphérique , la somme des trois angles est comprise entre 2 droits et 6 droits; et le plus petit angle augmenté de 1 droits est plus grand que ta somme des deux autres.

Car, en joignant les trois sommets d'un triangle sphérique au centre de la sphère, on déterminera un angle irièdre dont les angles dièdres ne seront autres que les angles du triangle; or, on sait que dans tout angle trièdre la somme des trois angles dièdres est comprise entre 2 droits et 6 droits, et que le plus petit angle dièdre augmenté de 2 droits est plus grand que la somme des deux autres (386).

Remarque. — On appelle excès sphérique d’un triangle l’excès de la somme de scs angles sur deux droits.

Un triangle sphérique peut être birectangle, trirectangle. c’est-à-dire qu’il peut avoir deux ou trois angles droits. Il peut aussi avoir deux ou trois angles obtus.

Cas d'égalité de triangles sphériques.

TbéorRrr 1.

547. Deux triangles sphériques, situés sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont égaux ou symétriques, lors qu'ils ont un côté égal, adjacent à deux angles égaux chacun d chacun.

1" Soient les triangles ABC, DEF, et supposons le côté AC. égal au côté DF, l'angle A égal à l’angle 1), l'angle C égal à

l'angle F. Si on porte le triangle DEF sur ABC, de manière que le point D tombe au point A et le point F au point C, les côtés DE, FE, s’appliqueront respectivement sur les côtés AB, CB, puisque les angles A et D sont égaux, ainsi que les angles C et F; donc les deux triangles ABC, DEF sont égaux.

20 Soient les triangles ABC, D'E'F', et supposons le côté AC égal çiu côté D'F', l’angle A égal à l’angle D\ l'angle C égal n "angle F'. Dans ce cas, les angles égaux A et D', C et F', ne sont pas disposés de la même manière, par rapport aux côtés

agit GEOMETRIE DAMS L'ESPACE. — LIVRE VIII.

égaux AC, D'F', et il n’est plus possible de superposer les triangles ABC, D'E'F'; mais si on porte le triangle D'E'F' sut le triangle A'B'C', symétrique de ABC, de manière que le point D' tombe au point A', et le point F' au point C', les côtés It'E', F'E' s’appliqueront respectivement sur les côtés A' B', C'B'; donc les deux triangles ABC, D’E'F' sont symétriques.

TuEorEme U.

548. Deux triangles sphériques situés sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont égaux ou symétriques, lorsqu'ils ont un angle égal , compris entre deux côtés égaux : chacun à chacun.

i° Soient les triangles A^C, DEF’, et supposons l’angle A égal à l’angle D, le côté AC égal au côté DF, le côté AB égal

au côté DE. Si on porte le triangle DEF sur ABC, de manière que le point D tombe au point A, et le point F’ au point C, le côté DE s’appliquera sur le côté AB, puisque l’angle A e: t égal à l’angle D. et, comme les côtés AB, DE sont égaux, le point E tombera sur le point B; donc les triangles ABC, DEF" sont égaux.

a0 Si les côtés égaux AC et D'F', AB et D'E' sont inversement placés par rapport aux angles égaux A et D', le second triangle peut coïncider avec le triangle A'B'C', symétrique de ABC; donc les triangles ABC, D' E' F' sont symétriques.

Tiiêorèhe 111.

549. Deux triangles sphériques situés sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont égaux ou s) métriques, lorsqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

i° Soient les triangles ABC, DEF, et sunnosons le côté AC

égal au côté DF, le côté AB égal au côté DE, le côté BC égal

TRIANGLES ET POLYGONES SI'IlKHly LES. U)-]

au côté EF. Si on joint les centres O, O' des deux sphères aux sommels des triangles, on formera deux angles trièdres, dont les angles plans ont pour mesures les côtés des triangles sphériques proposés, et par conséquent ces a ngl es plans sont égaux chacun à chacun.

De là il résulte que les deux angles dièdres OA, O'D sont égaux, et, par suite, que les angles A, D, des deux triangles sphériques sont aussi égaux. Ainsi, les triangles ABC, DEF ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; donc ces triangles sont égaux.

2° Si les côtés égaux AB et D'E', CB et F'E' étaient inversement placés par rapport aux côtés égaux AC et D'E', les deux triangles ABC, D'E' F' seraient symétriques.

Théorème IV.

550. Deux triangles sphériques situés sur In même sphère ou sur des sphères égales, sont égaux ou symétriques, lorsqu ils sont équiangles entre eux.

Soient ABC, DEF les triangles proposés. Puisque ABC et DEF ont leurs angles égaux, leurs triangles polaires, que je désignerai par A'B'O et D'E'F', auront leurs côtés égaux chacun à chacun, et, par conséquent, leurs angles respectivement égaux. Ensuite, les triangles A'B'C', D'E'F' ayant leurs angles égaux, les triangles ABC, DEF seront équilatéraux entre eux; donc ces derniers triangles sont égaux ou symétriques.

551. Remarque. — Si un angle trièdre OABC a son sommet au centre O de deux sphères concentriques OA, Oa, il intercepte sur leurs surfaces deux triangles ABC, abc, qui sont semblables (c'est-à-dire deux triangles qui ont leurs angles égaux chacun à chacun, leurs côtés homologues proportionnels, et dont les éléments sont semblablement placés).

Car ces triangles sont d’abord équiangles; de plusieurs côtés AB, ab, sont des arcs semblables, proportionnels aux rayons OA, 0 a, et il en est de même des côtes AC, ac, ainsi que des côtés BC, bc ; donc on a

AB AC BC ab ac bc

Donc les triangles sphériques ABC, abc sont semblables.

552. Remarque générale. — Dans les quatre cas d’égalité de triangles sphériques qui précèdent, on peut reconnaître

2<)3 GÉOMÉTRIE DAMS LESPACE. LIVRE VIII.

qu’aux côtés égaux sont opposés des angles égaux, et qu'aux angles égaux sont opposés des côtés égaux.

Il en est de môme, lorsque les deux triangles que l’on considère sont symétriques.

Dépendance entre deux côtés d'an triangle sphérique et les angles opposés.

Théorème 1.

553. Dans un triangle sphérique isocèle ABC, les angles B, C, opposés aux côtés égaux AC, AB, sont égaux.

Joignons le sommet A au point D, milieu de la base BC, par un arc de grand cercle; les deux triangles ABD, ACB, auront leurs trois côtés égaux chacun à chacun, et seront symétriques; donc B = C.

Corollaire I. — Puisque les triangles ABD, ACD sont symétriques, les angles ADB, ADC sont égaux, ainsi que les angles DAB, DAC. Donc, l'arc de grand cercle mené du sommet d ’un triangle sphérique isocèle au milieu de sa base, est perpendiculaire à cette base et divise l’angle du sommet en deux parties égales.

Corollaire II. — Tout triangle sphérique équilatéral est en même temps équiangle.

Tuéorêmk 11.

554. Si dans un triangle sphérique ABC deux angles B, C sont égaux, les côtés opposés le sont pareillement, et par conséquent le triangle est isocèle.

Soit A'B’C’ le triangle polaire de ABC. De ce que B=C, on a ( 525 )

et par conséquent B' = C'; ensuite, de ce que B'=C' on a

AC == AB

Corollaire. — Tout triangle sphérique équiangle est aussi équilatéral.

Théorème 111.

553. Si dans un angle sphérique ABC, deux angles B, C, sont inégaux, au plus grand angle C est opposé le plus grand côté AB.