TRUNGLES ET POLYGONES SPHÉRIQUES

Faisons l’angle BCD égala l'angle B, le triangle DBC sera isocèle; donc I)B= DC.

D’ailleurs le triangle ADC donne

Al)-i-DC> AC ou AD -+- DB '> AC,

ou enfin AB>-AC.

Corollaire. — Si dans un triangle sphérique ABC deux côtés AB, AC sont inégaux, au plus grand côté AB est opposé le plus grand angle C.

Des côtés et des angles d’un polygone sphérique. Tbêoréhe 1.

556. La somme des côtés d'un polygone sphérique convexe ABCDE est moindre qu'une circonférence de grand cercle.

Car, en menant du centre O de la sphère les rayons OA, OB, OC, OD, OE, on formera c un angle polyèdre convexe OABCDE dont les angles plans auront pour mesures les différents côtés du polygone; or, la somme de ces angles plans est plus petite que 4 droits; donc, la somme des côtés AB, BC,... est moindre qu’une circonférence.

Théorèee 11.

557. La somme des angles d’un polygone sphérique convexe de n côtés est plus grande que n — 2 fois 1 angles droits, et moindre que n — 2 fois 6 angles droits.

Car, en joignant l’un de ses sommets à tous les sommets des angles opposés par des arcs de grands cercles, on décomposera le polygone en n — 2 triangles sphériques; or, la somme des angles de chaque triangle est comprise entre 1 droits et 6 droits; donc la somme des angles de tous les triangles ou la somme des angles du polygone est comprise entre n — 2 fois 2 angles droits et 1» — 2 fois 6 angles droits.

Remarque. — On appelle excès sphérique d’un polygone l’excès de la somme de ses angles sur autant de fois 2 droits qu’il y a d’unités dans le nombre des côtés moins 2.

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