R: X 5 ou

Ile-marque. — Le volume de la sphère a aussi pour mesure le nombre 8 (cil prenant, pour unité de volume, la pyramide trirectangle ).

El, comme le volume de la sphère est exprimé par ^ rrll’,

lorsqu’on prend, pour unité de volume, le cube dont le cèle est l'unité de longueur, il s’ensuit que la pyramide irireclangle, rapportée à la même unité, a pour mesure

;rll X 5 ou

ThEorEme II. »

500. Un fuseau Ali V C est à ht surface, de ta sphère comme l'angle A de ce fuseau esl à 4 droits, ou comme l'arc UC qui mesure cet angle est à la circonférence BCDE.

i" Supposons que l'arc BC et la circonférence BCDE aient une commune mesure, et que celte commune mesure soit contenue n fois dans la circonférence et m fois dans l’arc BC ; on aura

BC m BCDE ~ n '

.Maintenant, si on décrit des demi-circonférences, allant du point A au point A’ cl passant par les points de division de la circonférence BCDE, la surface de la sphère sera divisée en « fuseaux qui seront égaux entre eux, comme ayant le même angle, et l’un de ces fuseaux sera contenu m fois dans le fuseau ABA'C; donc on a

fuseau A m •

surf. sph. n

fus. A BC A et, par suite, = BcÜË = p ‘

2° Si l’arc BC et la circonférence BCDE étaient incommensurables, on démontrerait, au moyen du raisonnement connu (175), qu’on a encore la même proportion.

Corollaire. — Si on prend, pour unité de surface, le triangle

3oa géométrie bass l espace. — livre viii.

trirectangle, le fuseau ABA'C a pour mesure le double de son angle, évalué au moyen de l'angle droit. Car on a

fus. A A 2 A

surf. sph. — 4 S ’

or, la surface de la sphère a pour mesure le nombre 8 ; donc le fuseau, dont l'angle est A, a pour mesure i A.

De là il résulte qu’en désignant le rayon de la sphère par R, te fuseau ABA'C, rapporté au carré dont le côté est l’unité de longueur, a pour mesure

-^R’XsA ou ttR’A.

Remarque. — On verrait comme ci-dessus: i° que l’onglet sphérique OABA' C est au volume de la sphère comme son angle A sest A 4 droits ; a° que cet onglet a pour mesure 2 A ou le double de son angle (en prenant, pour unité de volume, la pyramide trirectangle ).

Donc l’onglet sphérique, rapporté au cube dont le côté est l’unité de longueur, a pour mesure

4 7tRJx 2A ou 5 jtR’A.

Théorème III.

561 . Les surfaces de deux triangles sphériques symétriques ABC, A'B'C', sont équivalentes.

Soit Pie pôle du petit cercle qui passerait par les trois sommets A, B,C (*); les trois arcs de grands cercles PA, PB, PC, seront égaux et, par conséquent, les trois triangles PAB, PBC, PCA, seront isocèles.

Maintenant, menons le diamètre PP', ainsi que les arcs P' A', P' B', P'C\ Les triangles P'A'B', P'B'C', P' C'A', seront respectivement les symétriques des triangles PAB, PBC, PCA, et par suite ils seront aussi isocèles: donc le triangle P'A'B' peut coïncider avec PAB, le

(* ) Le cercle , qui passe par les trois sonunets A, B, C d’un triangle sp/te tique ABC, ou qui est circonscrit à ce triangle , ne peut être qu’un petit cercle de la sphère . Car, si c’était un grand cercle, les trois côtés AB, BC, AC seraient situes dans un même plan, et par conséquent ces trois arcs appartiendraient à une même circonférence de grand cercle, ce qui est contre l’hypothèse

MESURE DU EUSEAU, DU TRIAXGLE SIMIÉBIQUE, ETC. 3o3

triangle P'B'C'avec PBC, le triangle P'C'A' avec PCA. Or, un a (i) ABC = PAB 4- PBC 4- PCA ,

donc les triangles ABC, A'B'C', sont équivalents.

Remarque I. — Si le pôle P était hors du triangle ABC, la démonstration ne changerait pas; seulement, au lieu des égalités (i) et (2), on aurait

ABC = PBC 4- PCA — PAB ,

Remarque //. — On verrait de même que les deux pyramides sphériques symétriques, qui ont pour bases les triangles ABC, A'B'C', sont équivalentes.

Tiièobèhe IV.