Si deux

circonférences de grands cercles ABA'B’, ACA'C', se coupent sur un hémisphère.

ABCB'C', la somme de deux triangles opposés ABC, AB'C', est équivalente au fuseau dont l’angle est BAC.

Car, les triangles symétriques AB'C', A'BC, étant équivalents, on a

ABC 4- AB'C' = ABC 4- A'BC = fuseau ABA'C.

Remarque. — On voit aussi que la somme des pyramides sphériques OABC, OAB’C', est équivalente à l'onglet O ABA'C.

Tuëobëme V.

563. Un triangle sphérique ABC a pour mesure l’excès de la somme de ses angles sur deux droits, c'est-à-dire son excès sruÊRiQUE A + B4-C — 2 (en prenant, pour unité de surface, le triangle trireelangle et, pour unité d’angle, l’angle droit).

Prolongeons les côtés AB, CB, jusqu’il la rencontre de la circonférence ACA'C'; on aura

. " >NC

XjX \

Ajoutant ces égalités membre à membre, et remarquant que la somme des quatre triangles ABC, BCA',

ABC 4- BC A' = fus. A, ABC 4- BC'A' = fus. B, ABC 4- AB C' = fus. C.

3o4 GÉOMÉTRIE PANS l’espace. — LIVRE VIII.

BC1 A', ABC', est la moitié de la surface de la sphère, on a

2 ABC - surf. sph. = fus. A H- fus. B -h fus. C.

et. par suite,

2 ABC, = fus. A fus. B -+- fus. C — - surf, sph.;

donc mes. de 2 ABC = a A -t- 2 B -+- 2C — 4>

d’où mes. ABC = A -t— B -t— C — 2.

Corollaire. — Si on désigne le rayon de la sphère par K, le triangle sphérique ABC, rapporté au carré dont le côté est l’unité de longueur, a pour mesure

-7rR’(A-t-B-i-C — 2).

Remarque. — En prenant, pour unité de volume, la pyramide trireclangle, on a aussi

mesure de la pyramide sphérique OABC --A + ll + C — 2.

Donc cette pyramide sphérique, rapportée au euhe dont le côté est l’unité de longueur, a pour mesure

Théorème VI.

564. i n polygone sphérique convexe a pour mesure / excès de la somme de ses angles sur autant de fois deux droits qu'il y a d'unités dans le nombre de ses côtés moins deux, c'est-àdire son excès sphérique (en prenant, pour unité de surface, le triangle trireclangle, et pour unité d’angle, l’angle droit).

Car, en menant d’un même commet des diagonales, c’est-àrlire des arcs de grands cercles, à tous les sommets des angles opposés, on décompose le polygone en autant de triangles qu’il y a de côtés, moins deux ; or, chaque triangle a pour mesure l’excès de la somme de scs angles sur deux droits, et d’ailleurs la somme des angles de tous les triangles est évidemment la même que celle des angles du polygone; donc le polygone aura pour mesure la somme de ses angles, diminuée d’autant de fois deux angles droits qu’il y a de triangles ou qu’il y a d’unités dans le nombre des côtés, moins deux.

Ainsi, en désignant parS la somme des angles d’un polygone

MESURE DU FUSEAlf, D'J TRIANGLE SFHËRIQUE, ITC.

sphérique et par n le nombre de ses côtés, on a

mes. polyg. sph. — S — a ( n — a }.

Corollaire. — Si l’on désigne le rayon de la sphère par K, ce polygone sphérique, rapporté au carré, dont le côté est l’unité de longueur, a pour mesure

Remarque. — La pyramide sphérique, qui a pour base ce même polygone, a aussi pour mesure S — a [n — a), lorsqu’on prend, pour unité de volume, la pyramide trirectangle.

Donc cette pyramide sphérique, rapportée au cube, dont le côté est l’unité de longueur, a pour mesure

g t:R5[S— 2(n — 2)] [Note 82].