SUR LA LIGNE BRISÉE DE DELA CÔTÉS

Lo théorème démontré au n°29 peut s’établir de la manière suivante : Soit la ligne brisée ABC, et supposons qu'elle soit enveloppée par la ligne brisée ADC, qui se termine aux mêmes extrémités A et C; je dis qu'on aura ABC < ADC.

Pour lo démontrer, je prolonge AB jusqu’à la rencontre de la ligne enveloppante au point E ; a u alors les deux lignes brisées ABC, AEC ont une

partie commune AB, et, si l'on considère leurs parties non communes BC, BEC, on voit que la droite BC est plus courte rjue la ligne brisée BEC; donc on a l'inégalité

ABC r AEC.

Maintenant, les lignes brisées AEC, ADC ont une partie commune EC, et d’ailleurs la droite AE est plus courte que la ligne brisée ADE; donc on a

AEC < ADC.

Ainsi, la première ligne brisée ABC est moindre que la seconde AEC, et celle-ci est elle-même plus petite que ADC; donc on a, à plus forte raison,

ABC < ADC.

Remarque. — En général, on fera voir qu'une quantité a est plus petite qu'une autre quantité b , si l’on parvient à démontrer des inégalités telles que celles-ci :

« < r < d, >t<b , ou „ < e < <1 < b.

Par exemple, supposons qu’il s’agisse de démontrer que la ligne brisée convexe ABCD est moindre que la ligne brisée AEFD; on verra facilement qu’on a

ABCD < ABHD < AGFD < AEFD,

et de là on conclura l’inégalité

ABCD < AEFD.