SIR LES CAS D'ÉGALITÉ DES TRIANGLES RECTANGLES ET SUR LES PARALLÈLES

Faut-il placer les cas d'égalité des triangles rectangles à la fin de la théorie des perpendiculaires et des obliques, ou bien les réunir aux cas d’égalité des triangles quelconques’ Cette question , qui au fond n'a pas grande importance, m’a pourtant sérieusement occupé.

Séduit par l’ordre logique, je m'étais d’abord assujetti à ne pas parler de triangles en traitant des perpendiculaires et des parallèles ; mais plus tard, cette marche m’a paru avoir quelque chose de trop systématique, et j'ai cru devoir sacrifier I 'ordre logique à la simplicité , en revenant à la marche consacrée par l’usage.

Seulement, je vais indiquer comment, dans ma première rédaction, j’exposais la théorie des parallèles.

§ 111. - PARALLÈLES

Définitions.

Voir les n“ 78 et 79 du texte.

Voir le n° 80.

Deux droites AB, CD sont parallèles, lorsqu'elles font acre une transversale EF des angles alternes-internes égaux AGH, GHD.

K En effet, supposons que les droites G B,

, „ ’ „ HD suffisamment prolongées se rencon-

trent en un point K, et faisons tourner la i figure KBGHD autour du point O, milieu de GH, jusqu'à ce que la droite GH de celte figure s’applique sur la droite HG do la figure CHGA ; l'angle DHG étant égal à

ZI

l’angle AGH, la droite HD coïncidera avec GA; et de meme, les angles BG11, CHG étant égaux parce qu’ils sont respectivement les suppléments des angles AGH, GHD, la droite GB coïncidera avec HC. Donc les deux droites HC et GA devront aussi se renrontrer en un point K'.

Maintenant, si l’on ramène la figure KBGHI) dans sa position primitive, il s'ensuivra que par les deux points K, K' on pourrait mener deux droites K'ABK,K'CDK, ce qui est impossible. Donc, il est pareillement impossible que les droites AB, CD se rencontrent, et, par conséquent, elles sont parallèles.

Remarque. — On pourrait déduire, comme corollaire du ibéoreme II, le théorème I au lieu de le démontrer directement.

Corollaires I et II. — ( Foir le n“ 81 . )

Foir le n° 82.

Fuir le n° 83.

Phoblème.

Théorème III.

Théorème IV.

Doux parallèles AB, CD font noce une transversale EF des angles altemes-intcrnes égaux.

En effet, supposons, par exemple, que l’angle AGH soit plus grand que l’angle GHD, et menons la droite KM de telle sorte, que l’angle KGH soit égal à l’angle GHD ; alors ces deux angles qui sont allernes-intcrnes étant égaux, la droite KM serait parallèle a CD. Donc, par le point G on pourrait mener deux parallèles à la droite CD, ce qui est impossible; donc les deux aDgles AGH, GHD sont nécessairement égaux.

Kenian/ue. — On pourrait déduire, comme corollaire du théorème IV, le théorème 111 au lieu de le démontrer directement.

Corollaires J et II. — ( Foir le n° 84. )

Théorème V.

Foir le n° 85.

SLR LE CENTRE DES MOYENNES DISTANCES d’l.N TRIANGLE.

Aux propositions que nous avons réunies sous le litre de Propositions diverses, p. 5 1 , nous ajouterons le théorème suivant qu’il est bon de connaître, et qui, du reste, est susceptible d’élre démontré de plusieurs manières comme nous le verrons dans les Notes sur le troisième Livre (voir Notes 29 et 35).

Théorème.

Si, des trois sommets d’n/i triangle ABC et dit jtoint d' intersection O rte ses médianes, on abaisse des /serpe adieu ht ire s An, B A, Ce, Ou sur unr droite xy extérieure au triangle, ta quatrième perpendiculaire sera une MOYENNE ARITHMÉTIQUE entre les trais autres.

s Des poinls D, E, milieux des dro:les BC,

OA, abaissons D»/, Ee, perpendiculaires y- 0/T \ sur rr; le trapèze F.Drfr donnera (122)

d o eue

lOo — Ee 4- Dr/.

De môme, dans les trapèzes AO on , CBAe, on a

a Ee = An -+- On, aDr / = DA -f- Ce.

Multipliant la première égalité par a et l'ajoutant aux deux autres, il vient

40» = An -f- BA 4- Cr-t-On,

d'où l'on tire

Oo = i (An-f-BA-i- Ce).

Définition. — On appelle centre des moyennes distances d’un triangle le point d'intersection de ses trois médianes. (On démontre en Mécanique que ce point est aussi le centre rie gravité du triangle, c cst-à-dire de la surface du triangle. )

SUR UN MINIMUM ET UN MAXIMUM. — SUIl L’ÉGALITÉ DE DEUX PO- LYGONES SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UNE DROITE OU A UN POINT. — SUR LES AXES ET LES CENTRES DE SYMÉTRIE DES FIGURES.

Sur un minimum et un maximum.

Définition. — On dit qu’une figure est maximum ou minimum selon qu’elle est la plus grande ou la plus petite entre toutes celles de même espèce.

Ainsi, le diamètre d’un cercle est un maximum parmi toutes les cordes qu’on peut mener dans ce cercle, et la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque sur une droite est un minimum entre toutes les droites menées du point à la droite. Parmi les distances d’un point donné aux différents points d'une circonférence, il y en a une qui est un minimum et une autre qui est un maximum (32).

Problème I.

Étant donnés deux points A et B situés d'un même côté d'une droite xy, trouver sur cette droite un point C tel, que la somme de ses distances aux points A et B soit un minimum.

3aa

Pour cela, joignons le point B au point A', symétrique du point A par rapport à xy ; la droite BV coupera rr au point C qui sera !o point cherché.

Car, si l’on mène la droite AC et qu’on joigne Lin point quelconque D de xy aux points A, B et A’, on a