SIR LA TANGENTE. — SUR LES COURBES TANGENTES ENTRE ELLES

Sur la tangente.

Nous avons appelé tangente à une circonférence une droile qui n’a qu’un (voint commun avec cette circonférence (135); mais il est bon de remarquer que celte définition convient seulement aux courbes qui ne peuvent pas être rencontrées par une droite en plus de deux points. Lorsqu'il s’agit de courbes quelconques, on définit la tangente de celte manière :

On appelle tangente à une courbe en un point A, la limite des positions que prend uno sécante passant par ce point, lorsqu’on la fait tourner autour du point A jusqu’à ce qu’un second point d’intersection vienne se confondre avec le premier.

Conséquence. — D'après celte définition générale, une tangente à une courbe en un point peut rencontrer celte courbe en d’autres points.

Considérons, par exemple, la cissotde qu’on trace par points comme il suit :

NOTES SUR LE LIVRE I. NOTE 1 3. 3î5

Soient un cercle O, un diamètre AB, une tangente indéfinie TT' menées au point B, et une sécante quelconque issue du point A qui coupe la circonférence au point C et la tangente au point U; prenons sur AD la longueur AM égale à CD, et concevons qu'on répète cette construction en menant du point A des sécantes tant audessus qu'au-dcssous du diamètre AB. Les points tels que M, déterminés ainsi et réunis par un trait continu formeront la ligne courbe x A x’ qui sera la cissoide.

Cela posé, menons une sécante EG qui coupe la courbe en trois points E, F, G, et concevons que cette sécante tourne autour du point fixe E jusqu’à ce que le point F se confonde avec le point E; la droite EG prendra une position limite telle que EG,. Alors cette droite sera tangente à la cissoïde, et l'on voit qu’en même temps elle la coupera au point G,.

Remarque /. — Au lieu de définir la tangente à la circonférence, comme on le fait au n° 133, on- aurait pu adopter de suite la définition générale et dire : qu’uno tangente xy à une circonférence en un point A, est la position limite que prend une sécante xAB/, lorsqu’on la fait tourner autour du point A jusqu’à ce que le second point d'intersection B vienne se confondre avec le premier.

En partant de cette définition, on aurait pu établir de deux manières la propriété caractéristique de la tangente, c'est-à-dire démontrer que toute tangente à une circonférence est perpendiculaire à l'extrémité du rayon mené au point de contact.

En effet, i° lorsque le point B se confond avec A, tous les points de xy autres que le point A sont hors du cercle; donc le rayon OA est la plus petite droite qu’on puisse mener du point O à la droite xA/, cl pur conséquent ce rayon est perpendiculaire à la tangente xr.

a* Soit C le milieu de la corde variable AB; la droite OC sera constamment perpendiculaire à AB et, si l’on fait tourner xAB/ autour du point A jusqu'à ce que le point B se confonde avec A, l’angle droit OC/ se confondra avec l’angle OA/; donc la tangente xA/scru perpendiculaire au rayon OA.

Remarque II. — Si une sécante x A B/ coupe une circonférence en deux points A, B, et quelle se meuve parallèlement à elle-même jusqu'il ce que ces deux points se confondent en un seul, la sécante dans sa position limite sera tangente à la circonférence. Car la sécante n’aura plus qu'un point commun avec la circonférence.

De même, si une sécante tourne autour d’un point fixe , extérieur au cercle jusqu'il ce que les deux points d'intersection se confondent en un seul, la sécante dans sa position limite sera tangente h la circonférence.

fiemanjue HT. — Plus généralement, si une droite xAB/ coupe une circonférence en deux points A et B, la sécante devient tangente, lorsque

3?.6 NOTES St R LE LIVRE I. ROTE I ij.

la rordo AB devient infiniment petite, c’est-à-dire plus petite que toute longueur donnée, ou lorsque la corde AB devient nulle.

Observation. — Par cos différentes manières de considérer la tangente à une circonférence, on se procure l'avantage de saisir des analogies cnli-e certains théorèmes, qui au premier abord semblent tout à fait distiucts.

Sur les courbes tangentes entre elles.

D'après la définition du n" 33, deux circonférences sont tangentes lorsqu’elles n'ont qu’un point commun; mais lorsqu’il s'agit de deux courbes quelconques, on dit qu’elles sont tangentes en un point qui leur est commun, si la tangente à l’une des courbes en ce point est aussi tangente à l’autre.

Or, on reconnaît sans difficulté que deux circonférences qui n'ont qu'un point commun ont une tangente commune en ce point; d’où il résulte que ces circonférences sont tangentes conformément à la délinition générale du contact de deux courbes.

El réciproquement, si deux circonférences ont une tangente commune, il est facile aussi de démontrer qu'elles n’ont qu’un point commun; car la normale menée au point de contact doit passer par les deux centres (112) et, par conséquent, la distance de ces centres sera égale à la somme ou à la différence des rayons des deux circonférences.