DÉPENDANCE MITUEI.I.E DES ARCS ET DES CORDES

Théorème 111.

44. Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, les cordes égales sous-tendent des arcs égaux .

Soient les cercles égaux 0, 0', et supposons que la corde AB soit égale à la corde CD; je dis que les arcs AB, CD, sont égaux.

Pour le démontrer, je.

mène les diamètres AE, CF, et je porte le second cercle sur le premier, de manière que le centre O' tombe sur le centre 0 et que le diamè tre CF prenne la direction de AE; alors, puisque les deux cercles sont égaux, le point C tombera au point A, le point F au point E, et les deux circonférences coïncideront parfaitement.

Maintenant, le point D tombera sur le point B; car, s’il tombait sur un autre point de l’arc AB ou sur le prolongement de cet arc, il s’ensuivrait que la corde CD serait plus petite ou plus grande que la corde AB, ce qui est contre l’hypothèse.

Donc les deux arcs AB, CD coïncideront, donc ils sont égaux.

Remarque. — Si les cordes égales AB, CD, sont dans le même cercle 0, on peut regarder la corde CD comme appartenant à un second cercle qui coïncide avec le premier, et on fait tourner ce second cercle autour du point 0, jusqu’à ce que le demi-cercle CDF se confonde avec le demi-cercle ABE; puis on démontre, comme dans le premier cas, que le point D doit tomber au point B.

Théorème IV.

45. Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, de deux cordes inégales la plus grande sous-tend le plus grand arc.

Soient les cercles égaux O, 0', et supposons que la corde AB soit plus grande que la corde CD; je dis que l’arc AB est plus

grand que l’arc CD.

Pour le démontrer je mène les diamètres AE, CF, et je porte le second cercle sur le premier, de manière que le centre O' tombe sur le centre 0 et que le diamètre CF prenne la direction de AE; alors, puisque

les deux cercles sont égaux, le point C tombera au point A, le point F au point E, et les deux circonférences coïncideroni parfaitement.

Maintenant le point D tombera sur l’arc AB, entre A et B. au point I)' par exemple; car, s’il tombait au point B ou sur le prolongement de l’arc AB, il s’ensuivrait que la corde Cl) serait égale à la corde AB ou plus grande que celle corde, ce qui est contre l'hypothèse. Donc l’arc CD n’est qu’une partie de l’arc AB, et par conséquent on a

arc AB > arc CD.

Corollaire /. — Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, les arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales.

Car, si les cordes étaient inégales, les arcs seraient inégaux

Corollaire II. — Des deux théorèmes précédents on peut conclure : que dans le même cercle ou dans des cercles égaux, de deux arcs inégaux AB, CI), le plus grand AB est sous-tendu par la plus grande corde (si toutefois les arcs dont il s'agit sont moindres qu’une demi-circonférence). Car, si la corde AB était égale à la corde CD ou plus petite que cette corde, l’arc AB serait égal à l’arc CD ou plus petit que cet arc, ce qui est contraire à l’hypothèse.

Remarque. — Si deux arcs sont l’un et l’autre plus grands qu’une demi-circonférence, le plus grand de ces arcs est souslendu par la plus petite corde.

DÉFINITIONS