BF = FE - EC

Enfin, si l’on prend sur FC la droite FG égale à FE ou à EC, le reste GC sera plus petit que EC. Donc le côté BC est égal à i EC, plus un reste moindre que EC, ce qu'il fallait démontrer.

Théorème.

La diagonale AC et le côté AB d'un carré ABCÜ sont deux lignes incommensurables entre elles.

Éléments. a a

NOTE ai.

En effet, cherchons la p. g. c. ra. des deux droites AC. AB, et portons la droite AB sur AC; la diagonale AC contiendm AB uno fois, plus un reste EC, et l’on aura

Maintenant, si l’on porte EC sur AB ou sur BO, on trouvera que BG contient deux fois EC, plus le rc.-te GC; donc

BC= aEC-t-GC.

De meme, si l’on porte GC sur EC, on trouvera que EC contient GC deux fois, plus un reste, et ainsi de suite.

Par là on voit que l’opération se prolongerait indéfiniment, et il s’ensuit qu'il n’y a pas de commune mesure entre lu diagonale et le côté du carré, ou que ces deux droites sont incommensurables.

Remarque. — L’incommensurabilité de deux lignes, telles que la diagonale AC et le côté AB du carré ABCD, est un fait que la théorie nous révèle; mais il est clair qu’aucune opération mécanique ne peut donner la confirmation do cette vue de l’esprit.

Sur l'égalité entre le ra/iport de deux grandeurs et celui de leurs mesures.

Nous avons vu (173) que te rapport d’une grandeur à une autre grandeur de même espèce est égal au rapport de la mesure de la première grandeur à la mesure de ta seconde, quelle que soit l’unité employée /saur mesurer les deux grandeurs.

On peut démontrer cette proposition comme il suit, en distinguant deux

cas :

i° Supposons que les deux grandeurs A, B dont il s'agit soient l'une et l’autre commensurables avec l’unité employée «, et qu’elles aient pour

mesures les nombres 7 cl — On aura

et, par suite (160),

Or, de cette dernière égalité on tire

= Bx T-’

et si l'on porte cette valeur de « dans l'égalité (i), il vient

NOTES Sl'R LE LITRE II. NOTE RI. 339

et, par conséquent,

B “ 4 x 5 “ 4 ‘ ii "

Donc le rapport do A à B est égal à celui de - à — '

i° Soient les deux grandeurs A, B qui sont incommensurables avec l’unité et qui ont pour mesures les nombres n, b\ je dis qu’on aura

A n encore „ = 7 •

Divisons l’unité en n parties égales et supposons que l'une de ces parties soit contenue respectivement ni fois cl p fois dans les grandeurs A et B, mais qu’elle n'y soit pas contenue une fois de plus. On aura

et, par suite,

De même, 011 aura et, par suite,