U III
in -t- 1 /'
Maintenant, si l'on divise B en p -t- 1 parties égales, l'une de ces parties sera plus petite que la n''“‘ partie de l’unité; donc elle sera contenue dans A au moins m fois, et l'on aura
De même, si l’on divise B en p parties égales, l'une de ces parties sera plus grande que la n‘ "“ partie de l’unité; donc elle sera contenue dans A moins de ni -t-i fois, et l’on aura
Ainsi, les rapports ^ et ^ sont tous deux compris entre les fractions . "!— et - dont la différence est — +-‘- — > différence qui
devient, en effectuant la soustraction,
ou bien
Donc, si les rapports
étaient inégaux ,
leur différence serait 2 a.
moindre que
et, à plus forte raison, que
Or, on peut diviser l'unité en parties égales suffisamment petites pour que p devienne plus grand que tout nombre donné, et, par conséquent,
pour que la //""* partie de ~ + 1 soit moindre que tout nombre donné.
Donc les deux rapports ^sont nécessairement égaux.
Remarque. — La démonstration qu'on vient de donner pour le ras où les deux grandeurs A et B sont incommensurables avec l’unité s'appliquerait sans difficulté dans le cas où les deux grandeurs seraient l'une commensurable, et l’autre incommensurable avec l’unité.
SLR l’ÊÜALITÉ UE DELX RAPPORTS INCOMMENSURABLES. Théorème.
lieux rapports incommensurables ^ ^ sont égaux, lorsqu'ils contiennent chacun une / nirtie aliquole quelconque tic l'unité un mente nombre tic fois , ou, en d'autres termes, lorsque leurs valeurs , prises cln.cunc à
1 moins tic - près, sont égales [n étant un nombre quelconque).
Car, en désignant par la valeur commune des rapports proposés, à
moins de ^ prés par défaut, on aura
m A ta- f- 1
Vt < B < ~n~ ’ m C m + 1
Ainsi, les rapports -g, g sont tous deux compris entre les frai lions — ,
— — , dont la différence est , et, par conséquent, si ces rapports étaient
inégaux, leur différence devrait être moindre que -•
Or, on peut prendre n assez grand [xjur que i soit plus |>elit que tout nombre donné; donc on a ( 1 07 )
NOTES SLR LE LITRE II. — NOTE a3.
Remarque. — Réciproquemen I , si deux rap/rorts incommensurables — •
sont égaux ( 1 f>7 ), ils contiendront chacun une partie nlir/nntc quelconque île l'unité un même nombre rte fois. Car si l’on avait, par exemple ,
il . A ' 8
et
011 aurait
JO
donc les rapports g> g seraient inégaux, ce qui est contraire à l’hypothèse.
SCR LA MKSl’RF. DES ANGLES. — RAPPORTEUR.
Complément et supplément d'un angle exprimé en degrés, minutes et secondes.
Deux angles exprimés en degrés, minutes et secondes sont complémentaires ou supplémentaires selon que leur somme est égale à 90 ou à 180 degrés. Ainsi, un angle de 68 degrés a pour complément un angle de aa degrés, et il a pour supplément un angle de 1 la degrés.
Cette définition de deux angles complémentaires semble exiger que ces angles soient chacun moindres que 90 degrés; mais il ne faut pas l'entendre avec cette restriction.
Soit, par exemple, un angle de 108 degrés, son complément sera — 18 degrés; car la somme algébrique de 108 degrés et de — 18 degrés est bien épile à 90 degrés. Tout angle plus grand que 90 degrés a donc, pour complément l’excès de cet angle sur 90 degrés, pris négativement ou précédé du signe — .
De même, le supplément d'un angle plus grand que 180 degrés est l'excès de cet angle sur 180 degrés, pris négativement. De cette manière, le supplément de aao°37 '46' sera — 4°° 3~ ' '.
Remarque. — Deux arcs, sont aussi complémentaires ou supplémentaires selon que leur somme est égale à un quadrant ou à une demi-circonférence, ou bien selon quelle est égale à 90 ou à 180 degrés; et il v a lieu d’appliquer aux arcs ce qu’on vient de dire sur les angles.
Arcs ou angles évalués en grattes, minutes et serontles.
Lorsqu'on a fondé en France le nouveau système des poids et mesures, on a divisé le quadrant en cent grades, chaque grade en cont minutes, et chaque minute en cent secondes.
D’après la nature de ces subdivisions, il est facile d’exprimer un arc
34î NOTES SUR LE LIVRE If. NOTE 3.3.
évalué en grades, minuteset socondes par une fraction décimale du qua drant et réciproquement. On a, par exemple,
et on a aussi
Oc nouveau mode de division a été adopté pendant quelque ternps, mais il a été abandonné pour diverses raisons. D’abord le nombre 36o a plus de diviseurs que 4oo : d’où il résulte qu’il y a plus d’arcs exprimés par un nombre entier de degrés qu’il n’y a d’arcs exprimés par un nombre entier de grades; ensuite la division nouvelle entraînait le changement d’une grande quantité d’instruments auxquels on était habitué; enfin, il est bon pour la science que l’évaluation des angles se fasse de la même manière dans tous les pays.
I.a conversion d’un nombre de degrés, minutes et secondes sexagésimales en grades, minutes et secondes centésimales, ainsi que la question inverse, sont donc aujourd’hui sans intérêt. Nous les laisserons de côté.
Du rap/sorleur.
1.0 rap/mrtcur est un instrument qui sert à mesurer un angle donné, et à construire ou ra/i/iortcr sur le papier un angle égal à un angle donné. Il se compose d’un demi-cercle en corne ou en cuivre, dont le bord extérieur nommé limbe est divisé en 180 degrés, et dont le diamètre porte à son milieu une entaille qui est le centre du rapporteur.
Problème I.
Mesurer arci le rapporteur un angle donne x Ov.
Je fais coïncider le centre du rapporteur avec le sommet O et je dirige son diamètre B A suivant le côté Ojr.
Le côté Ox coupe alors la circonférence exlérieuredu rapporteur en un point M, et le nombre de degrés compris entre l’extrémité A du diamètre et le point M est la mesure de l’angle rOr.
Problème II.
Par l'extrémité O d’une droite O,)", mener avec le rapporteur une seconde droite t/ui fasse avec Ov un angle égal à un angle donné. (Figure ci-dessus. )
Après avoir mesuré l’angle donné, comme nous venons de l’indiquer, 011 applique le centre du rapporteur sur le point O, on dirige son diamètre suivant 0.r et on marque le point de division M, qui correspond à la grandeur de l’angle donné ; ensuite on enlève le rapporteur et l’on mène la droite OMx, qui est la droite demandée.
NOTES SI B LE Livnt II. — NOTE 24.
SLR LE MÈTRE CARRÉ ET SLR l'aRE. APPLICATIONS.
L'unité de longueur adoptée en France étant le mètre (168), l’unité de surface est le mètre carré ou le carré qui a pour côté 1 mètre. Ainsi, en représentant le mètre par AB, le carré ABCD sera le mètre carré.
Le mètre valant 10 décimètres, le mètre carré vaut 10 x 10 ou 100 décimètres carrés, ou 100 fois le carré A bcd. Ainsi l'on a
l"’ r» IOO**’.
(La notation abrégée mij provient de ce que le mot carré s'écrivait autrefois quarté.)
De même, le décimètre carré vaut 100 centimètres carrés et le centimètre carré vaut 100 millimètres carrés. D'où il résulte que 1 mètre carré vaut 10000 centimètres carrés et 1 million de millimètres carrés.
Remarque J. — Une surface étant évaluée en mètres carrés- cl parties décimales du métro carré, il est facile de l’exprimer en mètres carrés, décimètres carrés, centimètres carrés et millimètres carrés, et réciproquement. Par exemple,
On a aussi
Remarque II. — L’unité pour les surfaces agraires est l'are ou le iléramètre carré : 100 ares valent 1 hectare, et 1 are vaut 100 mètres carrés ou 100 centiares. On a donc
54263“’ = 542“ 63" = 5ta (2* 63“.
ri-j.
ttfr
rH f •- L i l -I -U .
Problème I.
Un mur , de forme rectangulaire, a 5™, 38 de longueur sur 4“, 63 de largeur , quelle est sa superficie ?
Sa superücie est (5,38 x 4,63)"’ ou a4”’. 9094.
Problème II.
Le plancher dune salle carrée a pour côté 6”, .(3, quelle est sa superficie ?
Elle est de (6,43’)“’ou de 4i"’,3449.
Problème III.
Trouver le côté dun carré équivalent à un rectangle , qui a /x>ur Inn- Hueur 729 mètres et pour largeur 676 mètres.
344 NOTES SUR LE LIVRE II. — NOTE l5.
En désignant par x le côté du carré cherché, on doit avoir
donc
x* = 72 9 x 676 s= 492804 ; x = y/ 4yi8o4 = 702”.
Sl'R DEUX TRIANGLES QUI ONT UN ANGLE ÉGAL OU DEUX ANGLES SUPPLÉMENTAIRES.
On a vu (190) que deux triangles, qui ont un angle égal, sont entre eux comme les pnuluits des côtés qui comprennent cet angle. A cette proposition nous joindrons celle-ci :
Deux triangles ABC, ADE, qui ont deux angles supplémentaires BAC., DAE, sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent res angles.
Menons la droite BE. Les triangles ABC, AUE ayant même hauteur, on a
