ABE AB ADE ~ AD

El, si l'on multiplie ces deux égalités membre à membre, il vient

ABC ABx AC ADE AD x ÂE '

Remarque. — Réciproquement, si deux triangles ABC, DEF sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent deux de leurs angles A et D, ces angles sont égaux ou supplémentaires.

En effet, supposons que les angles A et D soient inégaux et qu’on ait, par exemple, A < D ; alors je vais démontrer qu’ils sont supplémentaires.

Faisons l’angle BAG égal à l’angle D et prenons AG = DF.

AH = DE; le trianglo AHG sera égal au triangle DEF.

Maintenant, si l’on prend AK = DF et qu’on joigne le point H au i»oint K. les triangles ABC, AHK, qui ont un angle égal, dunnenl

ABC. AB x AC AB x AC .

AHK “ AH x AK ~ DE x DF ’

NOTES S li R LE LIVRE II. — NOTE 26.

et comme on a, par hypothèse.

ABC AB x AC DEF ~ DE x DF*

il s'ensuit que les triangles A1IK et I)EF ou AHG sont équivalents.

Mais les triangles AHK et A1IG ont mémo base AH; donc leurs sommets K et G sont situés sur une droite GK parallèle à AH, et par conséquent les angles BAC, GA-r sont respectivement égaux aux angles AKG, AGK du triangle isocèle AGK , et, par suite, l’angle BAC est égal A l’angle GAx.

Enfin, on a GA.r-t- H AG = a droits; donc les angles BAC et BAG ou les angles A et D sont supplémentaires.

SLR LA RESIRE DU TRAPEZE. SUR LA RESURE D’UN POLYGONE.

SIR LA TRANSFORRATION D’UN POLYGONE EN l’N TRIANGLE

ÊPUIVALENT. SLR QUELQUES RAXIRl RS ET MINIRURS.

Sur Ut mesure du trapèze.

■ Lorsqu’on sait mesurer certaines grandeurs et qu’on veut en mesurer une autre de même espèce, on cherche d’abord la valeur de celte dernière grandeur au moyen de quelques-unes des précédeutes, et l’on déduit de cette valeur la mesure cherchée.

C’est ainsi qu’on a mesuré le trajièze, en lo regardant comme la somme de deux triangles (191); mais on aurait pu le faire de plusieurs autres manières. Par exemple :

n c i° Soit le trapèze ABCI), dont la hau-

\ tcur est DH, et menons par lo sommet

c/: ” D et par le point E, milieu de CB, une

/ I . droite DEF qui rencontre la base AB

1,1 * l prolongée, au point F. Dans les triangles

DCE, FBE, le côté CE = EB et les angles opposés au sommet DEC, FEB sont égaux, ainsi que les angles alternes-internes DCE, FBE; donc ces triangles sont égaux, d’où il résulte que DC = BF et que le trapèze ABCD est équivalent au triangle DAF. Or, la mesure de ce triangle est

- AF x DH ou -DH(AB-f-DC);

donc cette mesure est aussi celle du lra]>èze.

D’ailleurs la droite GE, qui joint les milieux des côtés DA, DF du triangle DAF, est la moitié de la base AF ou de la somme AB + DC, et comme GE joint aussi les milieux des côtés non parallèles du trapèze ABCD, on peut conclure de nouveau : qu’un trapèze a pour mesure le produit de sa hauteur />ar la droite qui joint les milieux de ses côtés non parallèles.

a" Menons par le point E, milieu de CB, une parallèle à DA, qui rencontre AB et CD aux points F et G. Les triangles CEG, BEF seront égaux, comme ayant un cété égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ; donc CG = FB et le trapèze ABCD est équivalent au parallélogramme AFGD. Ainsi, on aura successivement

fi

ABCD AFGD,

= DU x AF,

EDHxAF.t”,

DH AF+FB -t-DG-CG

= DH x

AB + DC

De plus, si du point E on abaisse sur AD la perpendiculaire EK, le parallélogramme AFGD aura pour mesure AD x EK. Donc on peut dire encore : qu’zzn tra/ièzc a /tour mesure le produit de l'un de scs côtés non parallèles pur ta perpendiculaire abaissée sur ce meme côté du milieu du côté opposé.

Sur la mesure d'un polygone.

Pour mesurer un polygone, on peut le décomposer en triangles eu bien en triangles ot en trapèzes rectangles (193).

Ce second procédé, qui est surtout employé lorsqu’on opère sur le terrain, consiste à tracer d'abord une diagonale convenablement choisie, la plus grande ordinairement, et à mener des sommets extérieurs des perl>endiculaircs sur cette diagonale ou sur cette base.

Mais, au lieu de tracer une diagonale, il est quelquefois avantageux de tracer une autre ligne qui traverse le polygone; alors ce polygone s'évalue au moyen de triangles et do trapèzes rectangles dont les uns sont ndtliti/s et les autres soustractifs. Il peut arriver aussi qu’on trace une base située hors du polygone, et dans ce cas le polygone est la différence entre deux sommes de trapèzes rectangles.

Remarque. — Comme exercice graphique et en même temps comme exercice de calcul, les élèves peuvent mesurer un polygone tracé sur le papier, en le décomposant en triangles ; ensuite, ils construiront un second polygone égal au premier (153) et ils le mesureront, en le décomposant'en triangles et en trapèzes rectangles. Et s’ils prennent , par exemple, le millimètre pour unité de longueur, ils devront, par les deux procédés, trouver sensiblement le même nombre de millimètres carrés.

Pour avoir la mesure du même polygone, ils pourraient encore le transforme» en un triangle équivalent (194) et mesurer la surface de ce triangle.

Sur la transformation d’un polygone en un triangle équivalent .

Nous avons vu, au n° 194, comment on construit un triangle équivalent à un polygone donné, en supposant implicitement que ce polygone était convexe; mais cette construction peut encore se faire lorsque le polygone donné a un angle rentrant.

SOTF.S SUR LE LIVRE II. KOTB 26. Îq7

Soit, par exemple, le pentagone ABCDE qu’il s'agit de transformer en un triangle équivalent.

Pour cela, lirons la diagonale extérieure AC ; puis, par le sommet B, menons la droite BF parallèle à AC, qui rencontre en F le côté CD, et joignons le point A au point F. F.es triangles BAC, FAC qui ont la meme base AC et qui ont aussi des bailleurs égales, puisque leurs sommots B et F sont situés sur une jiarallèle à AC, seront équivalents. Donc, si l’on retranche successivement ces triangles du quadrilatère ACDE, les restes, qui ne sont autres que le pentagone ABCDE et le quadrilatère AFDE, seront aussi équivalents.

Ainsi, la question est ramenée à transformer le quadrilatère AFDE en un triangle équivalent, ce qui n’offre plus de difficulté.

Toutefois, si le polygone donné était l'hexagone ABCDEF, par exemple, la parallèle à AC menée par le point B ne rencontrerait ni le côté CD, ni le côté AF, et la construction ci-dessus serait impossible.

Dans ce cas, on pourrait tirer la diagonale BD, mener par le point Cune parallèle à BD, qui rencontrerait en G le côté ED prolongé, et joindre le point B au point G. Alors les triangles CBD, GBD seraient équivalents, comme ayant la mémo base BD et des hauteurs égales, et, par suite, l’bexagone ABCDEF serait équivalent au pentagone concave ABGEF. Ou retomberait ainsi sur le cas précédent.

Sur quelques maximum > et minimums.

Théorème I.

Parmi taux 1rs triangles tir même base BC rt tir même jtérimèlrr , le triangle isocèle ABC est un maximum.

* A n y Car en menant la droite xA y parallèle à BC,

j \ y; les angles BA x, CA v sont égaux ; donc pour tout

j y I |>oint D de xr, différent du jioint A, on a ( voir

1/ \f BD + DC > BA -t- AC,

et celte inégalité aurait lieu, à plus forte raison, si le |»int D était audessus de xj'.

Donc tous les triangles ayant pour base BC et le môme périmètre que ABC ont leur sommet au-dessous de rr, et par conséquent ils sont moindres que ABC.

Remarque. — Réciproquement, entre tous les triangles tir même base BC rt tir même surface, le triangle isocèle ABC est celui qui a un /jcrimètrr minimum.

Car, si un triangle DBC non isocèle a la môme surface que le triangle isocèle ABC, on peut construire un triangle isocèle A’BC de mémo périmètre que le triangle DBC et dont la surface serait plus grande que celle de DBC. et par conséquent plus grande que celle de ABC. Donc le péri-

348 r» otf.s sr» le litre il. — note 26.

mètre de A'BC, et par conséquent celui de DBC, est plus grand que le périmètre de ABC.

Corollaire. — Parmi tous les triangles île même périmètre , le triangle équilatéral est un maximum.

Car, en prenant pour base l'un quelconque des côtés du triangle maximum quia le périmètre donné, les deux autres-côlés doivent être égaux: donc les trois côtés du triangle sont égaux entre eux.

On verrait de même que, parmi tous les triangles île même surface , le triangle équilatéral a le plus petit périmètre.

Théorème II.

Entre tous les triangles qu'on peut former avec deux rtités donnés , faisant entre eux un angle quelconque , le maximum est celui dans lequel ces deux côtés sont perpendiculaires l’un à l’autre.

En effet, soient un triangle ABC rectangle en B et un second triangle A'BC dont le côté A'B est égal à AB et dont la hauteur est A'D. Ces deux triangles ayant même base BC sont entre eux comme leurs hauteurs AB, A’I); mais la perpendiculaire A'D est moindre que l’oblique

A’B ou que son égale AB ; donc le triangle ABC est plus grand que A'BC.

ROTES SUR LE LIVRE 111. ROTES 27 ET 28. 34g