QUELQUES APPLICATIONS DES TRIANGLES SEMBLABLES

Sur le /xiint d'intersection des trois médianes d'un triangle.

On peut démontrer, au moyen des triangles semblables, les deux théorèmes qui suivent et qui ont déjà été démontrés, l'un dans le premier Livre (121 ) et l’autre dans la Note 10.

Théorème I.

Dans tout triangle ABC, les médianes se coupent en un meme point.

Soient les deux médianes BD, CE qui se coupent au point O, et menons la droite ED. Cello droite sera parallèle à BC (117), et par conséquent les triangles ODE, OBC sont semblables ; donc on a

ftD OE i OB~BC “a*

Ainsi, la droite OD est la moitié de OB ou le tiers de la médiane BD, et on verrait de même que la troisième médiane couperait BD au tiers de BD à partir du côté AC; donc les trois médianes se coupent en un même point.

Si des trois sommets d’un triangle ABC et du point d’intersection O de ses médianes on abaisse des perpendiculaires A a, B h. Ce, Oo sur une droite xy extérieure au triangle , ta quatrième perpendiculaire sera une moyenne arithmétique entre les trois autres.

Menons D d perpendiculaire à xy et la droite DE parallèle à xy qui rencontre A a en E et Oo en F; on aura

(i) Oo = OF -+■ Fo = OF + D//.

Mais les triangles semblables DOF, DAE donnent

OF DO i AE~ DA - 3’

donc

OF = = 3 (An- Drf)= jA« - ,j Oïl.

Portant ccttc valeur de OF dans l'égalité (i), il vient

et, par suite (122).

0<.= iAfl + ^Drf,

i , î Bi + Cc i , . „ , ,

O o = - Ao 4- ; — s ( Art 4- Dé 4- Ce).

^jj Mesure du trapèze considéré comme la différence de deux triangles.

Soit le trapèze ABCD; prolongeons ses côtés non parallèles jusqu'à leur E rencontre au point E, de ce point abaissons sur AB la perpendiculaire KF qui coupe DC au point G, et désignons AB, DC, EF, EG, GF par B, b , II, //, h'. On aura

( i ) ABCD = EAB — EDC = ^ BH -bb ).

Maintenant, les triangles EAB, EDC étant sembla-

bles, ainsi que les triangles EAF. EDG, on a

B EA EA H b~ ED’ ED ~ A ’

doue

et, par suite,

= -r ■ d'où h —

D’ailleurs, de l’égalité (a) on tire aussi

bb’

H ., . u — 7-i d ou H —

B - b ~ H - h ~ U Portant les valeurs de b et de H dans l’égalité (i), il vient

ABCD = -A'x

mais, d’après le n° 198,

ABCD ^-h (ü + b).

Ainsi, le trapèze ABCD a pour mesure lu moitié du produit de sa hauteur par la somme de ses bases (191 ).

35 2 NOTES SUR LE LIVRE III. — NOTE 3o.

Remarque. — L’égalité (a) donne

et de là on aurait pu tirer les valeurs de H et de h pour les porter dans légalité (i).