DES CERTRES DB SIMILITUDE DE DEUX POLTGOSES
POLYGONES HOMOTHÉTIQUES.
Définitions.
Deux points pris sur les plans de deux polygones semblables sont dits homologues, lorsqu’en les joignant aux extrémités de deux côtés homologues on détermine deux triangles semblables et semblablement disposés
ÉUments, *3
354 SÛTES SUR LE LIVRE III. SOTE 3l.
par rapport aux deux polygones. Ainsi, en vertu du n° 213, les sommets homologues de deux polygones semblables (200) sont des points homologues.
Deux droites sont dites homologues, lorsque leurs extrémités sont respectivement des points homologues. Ainsi, les côtés et les diagonales homologues de deux polygones semblables ( 200 ) sont des droites homologues.
Théorème I.
Lorsque deux polygones ABCDE, abcde sont semblables, si on joint les sommets du premier à un point quelconque O, et les sommets du second au point homologue n, les triangles ayant pour sommets ces deux points et pour bases les côtés des polygones seront semblables chacun à chacun .
Supposons que les points homologues O, o aient été déterminés en faisant les angles OAB, OBA respectivement égaux aux angles oab, nba; il en résulte d’abord que les triangles OAB, oab sont semblables, et que les angles OBC, obe sont égaux. Ensuite, on a
OB AB
ob ab'
et, à cause de la similitude des deux polygones, on a aussi
AB BC
ab bc ’
donc
OB = BC ob ~ bc
Donc, les deux triangles OBC, obe ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, et par conséquent ils sont semblables (201).
On démontrerait de môme la similitude des triangles OCD, oed, et ainsi de su te.
Remarque I. — Au n° 212 on a démontré que deux polygones semblables peuvent se décomposer en un meme nombre de triangles semblables chacun h chacun et semblablement disposés, et pour cela, de deux sommets homologues on a mené des diagonales aux sommets des angles opposés; mais, d’après le théorème ci-dessus, on aurait pu joindro'les sommets des deux polygones à deux points homologues quelconques O, o pris dans l’intérieur de ces polygones.
Remarque II. — En supposant que les triangles OAB, OBC,. . . soient respectivement semblables aux triangles oab, obe,..., et en raisonnant comme on l'a fait au n" 210, on démontrerait facilement que les deux polygones ABCDE, abcde sont semblables.
ROTES SCR LB LIVRE III. — NOTE 3l. 355
Définitions. — Deux points homologues, tels que O et o, sont appelés quelquefois centres de similitude des polygones ABCDE et abede. Alors les droites OA, OB, ... et oa, ob,. . . se nomment rayons vecteurs ou rayons de similitude.
Remarque III. — Les droites OA, OB,. . . sont proportionnelles aux
droites oa, ob,..., et les angles AOB, BOC formés par les premières
droites sont respectivement égaux aux angles nob, boc, . . . formés par les
secondes. De plus, chacun des rapports ^ ^ > • • • est égal au rapport
de similitude ^5ab
Plus généralement, le rapport de deux droites homologues quelconques
AB
FG et fg est égal au rapport de similitude ~ des deux polygones ABCDE, abede.
Car les points P et G étant respectivement 1rs homologues des points /
et g, les angles FAB, GAB sont égaux aux angles fab , gab chacun à chacun, et par conséquent l’angle FAG, différence des angles FAB, GAB, est égal à l'angle fag, différence dos angles fab, gab. D’ailleurs, comme on a
FA AB GA fa ab ga ’
il s’ensuit que les triangles AFG , afg sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre cétés proportionnels ; donc
FG FA AB fg ~ fa ~ ab'
ce qu'il fallait démontrer.
TnéoRÈME II.
Si deux polygones ABCDE, abede sont semblables, on peut tes placer de telle sorte, qu’en menant par un même point des rayons vecteurs h tous les sommets de l’un des polygones, ces rayons passent par les sommets de l'autre, et que les rayons vecteurs diriges suivant les mêmes droites soient proportionnels.
En effet, soient les deux points homologues O , o et les rayons vecteurs OA, OB,. .., oa, ob,....
Si l'on porte le second polygone sur le premier, de manière que l’angle aob coïncide avec son égal AOB, l’angle boc coïncidera
356 NOTES SCR LE LITRE III. — NOTE 3l.
aussi avec BOC, et ainsi de suite; donc déjà les sommotsr», b,c,.. . seront placés sur les rayons OA, OB, OC,... en d, b', c', De plus, on aura
