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donc la proposition est démontrée.

Remarque I. — Les points 0, o peuvent se trouver sur les deux périmètres ou être extérieurs aux polygones.

Remarque II. — Le point 0 est un centre commun de similitude ou un /tôle de similitude des deux polygones ABCDE et a'b'c'd'e'.

Remarque 111. — Lorsque deux polygones ABCD. . .IKL et abed. . . iAl sont semblables, il peut arriver que leurs côtés homologues soient disposés ou ne soient pas disposés de la même manière. Dans le premier cas, un observateur, placé successivement dans l’intérieur do ces polygones et d’un même côté de leur plan commun, verrait les sommets A, B, C, . . . et les sommets n, b, c,... se succéder dans le même sens, c’est-à-dire de droite à gauche ou de gauche à droite; et dans le second cas, il verrait les sommets des deux polygones se succéder en sens contraires.

Ainsi, dans la figure ci-dessus, les deux polygones ABCDE et abede ont leurs côtés disposés do la même manière. S’il en était autrement, il faudrait retourner le polygone abede , par exemple, avant de le placer sur a'b'c'd'e'.

Remarque IF. — Les côtés AB et a' b', BC et b'c',... sont parallèles et dirigés dans le même sens , et, si on construisait le polygone a'b'c’d'e' symétrique de a'b'c'd'e' par rapport au point O, ces deux polygones seraient égaux et leurs côtés a' b' et a"b\ b'c' et b'c', . . . seraient’ parallèles et dirigés en sens contraires (voir la Note H ), d’où il résulterait que les côtés AB et a' b’, BC et b'c',... seraient parallèles et dirigés en sens contraires.

Donc, deux polygones semblables ABCDE et abede peuvent être placés de manière qu'ils aient leurs côtés respectivement parallèles et dirigés dans le même sens au en sens contraires.

Du reste, cette proposition est aussi une conséquence du théorème suivant.

Théorèhe IIL

Lorsque deux polygones semblables ABCD, abcd ont leurs côtés disposés de la même manière, si deux côtés homologues AB, ab sont partdlèlcs et dirigés dans le même sens, tes autres côtés de ces polygones seront aussi respectivement parallèles et dirigés dans le même sens.

En effet, concevons que par le point b on mène une droite parallèle à BC et dirigée dans le même sens ; alors cette droite doit faire avec ba un angle égal à l’angle B, et par conséquent elle prendra la direction de bcdonc les côtés BC et bc sont parallèles et dirigés dans le même sens. Il en serait de même des côtés CD et cd

NOTES SUR LE LIVRE III. NOTE 3l. 357

Remarque. — On démontrerait pareillement que, si tes côtés AB, ab étaient parallèles et dirigés en sens contraires, les autres côtés seraient aussi respectivement parallèles et dirigés en sens contraires.

Théorème IV.

Si d'un point quelconque S on mène aux sommets d’un polygone ABCD les droites SA, SB, SC, ... et qu’on prenne sur ces droites les jsoints a, b, c, . , . tels qu’on ait '

SA SB SC SD Sa S b Se §«/’

les polygones ABCD , abcd seront semblables.

Car les triangles SAB, S ab sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels; donc AB est parallèle à ab : de môme

BC est parallèle à bc

Ainsi, les deux polygones ABCD, abcd ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, et par conséquent leurs angles sont respectivement égaux.

De plus, les triangles SAB, SBC, . . . étant semblables aux triangles S ab, S bc, . . . , on a