SA SB SC
Sa " Sb ~ Sc ’
les deux systèmes de points A, B, C,. . . et a, b, c,... sont dits homothétiques directs ou homothétiques inverses , suivant que les points A et a, B et A,... sont d’un même côté du point S, ou de part et d'autro de ce point.
Selon que les points A, B, C, ... du premier système sont isolés ou qu’ils forment des lignes continues, il en est de môme évidemment des points a, b, c,....
Le point S est toujours le centre d'homothétie et le nombre k le rapport d’Jiomothétie des deux systèmes A, B, C, ... et a, b, c, ... .
Deux points A, a placés sur le même rayon vecteur sont encore des points homologues. Si deux points A, B ont respectivement pour homologues les points a, b, les droites AB, ab sont homologues; ces droites sont parallèles, et le rapport de AB à ab est égal au rapport d’homothétie l .
De ce que deux droites homologues sont parallèles, il s'ensuit que, si trois /oints du premier système sont en ligne droite, les trois joints homologues du second système sont aussi en ligne droite, et, par conséquent, la figure homothétique directe ou inverse d’une ligne droite est une seconde ligne droite parallèle à ta première.
Lorsque deux systèmes de points A, B, C,.. . et a, b, c,... sont homothétiques inverses, si on fait tourner l’un deux de 180 degrés autour du centre S, les deux systèmes deviennent homothétiques directs. Donc, en faisant varier la position du centre S et en donnant à h toutes les valeurs de zéro à l’infini, on obtient tous les systèmes homothétiques à un système donné A, B, C,.. ., soit qu'on prenne les points homologues a, b, c, ... sur les droites SA, SB, SC,..., soit qu’on les prenne sur les prolongements de ces mêmes droites, au delà du point S.
Théorème V.
Deux jmlygones semblables ABCD, abcd, qui ont leurs côtés jiarallèles et dirigés dans le même sens, sont homothétiques directs.
Supposons que les côtés AB, BC, . . . soient parallèles aux côtés ab, bc...., et menons les droites Aa, Bô, qui sc rencontrent au point S. Les
NOTES SUR LE LITRE III. NOTE 3l.
.triangles SAB, S ab seront semblables, et l'on aura
AB SB
ab S b'
Maintenant, si on joint le point S aux points C et c, les triangles SBC, S be sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels; donc l'angle BSC est égal à l’angle bSc, et par conséquent les rayons SC et Sc coïncident. On verrait de même que la droite D d passe par le point S.
De plus, on a
SA SB AB S n S b ' ab'
donc les polygones ABCD, abcd sont homothétiques directs.
Remarque I. — Deux polygones semblables, qui ont leurs côtés parallèles et dirigés en sens contraires, sont homothétiques inverses.
Démonstration analogue à la précédente.
Remarque 11. — Ce théorème serait encore vrai si, au lieu de deux polygones tels que ABCD, abcd , on considérait deux lignes brisées semblables (275), non fermées, dont les côtés seraient parallèles et dirigés dans le même sens.
Théorème VI.
Deux polygones ABCD, abcd sont homothétiques, si les droites qui joignent les sommets du premier à un point O sont parallèles et proportionnelles aux droites qui joignent les sommets du second à un autre point o.
Supposons d'abord que les droites OA, OB,. . . et les droites oa, ob,...,
qui sont parallèles et proportionnelles, soient en outre dirigées dans le
même sens, et menons les droites Oo, An qui se rencontrent au point S.
ii i i » SO AO BO . ... i ■ , a
Il en résulte que y- = — = et, si 1 on joint le point S aux points
36o NOTES SUR LE LIVRE III. — NOTE 3l.
B et b , les triangles SBO, S bo sont semblables comme ayant un angle . égal compris entre côtés proportionnels ; donc les angles OSB, nSb sont égaux, et par conséquent les droites SB, Si coïncident. On verrait qu’il
en est de même des droites SC, Sc
Maintenant, à cause des parallèles OA et on, OB et oi, ... , on a
