SA SB SD
Les deux parallélogrammes ABCD, abcd seront homothétiques directs, et je dis qu'ils sont aussi homothétiques inverses.
Car le point O a pour homologue le point d’intersection o des diagonales ac, db , puisque l’homologue du point O doit se trouver à la fois sur ne et sur db, et de là il résulte que les droites OA, OB, OC, OD sont parallèles et proportionnelles aux droites oa, ob, oc, od, et par conséquent aux droites oc, od, oa, ob; d’ailleurs les droites OA et oc sont dirigées en sens contraires, ainsi que les droites OB et od,. ... Donc les polygones ABCD et abcd sont homothétiques inverses.
Remarque. — Le point S situé sur le prolongement de Oo est le centre de similitude directe des deux polygones, et le point S' situé sur Oo est leur centre de similitude inverse.
Les distances des /joints S, S', aux /joints O, o, sont proportionnelles. SO S' O
Car les deux rapports g- et sont égaux chacun au rap|>ort d’homo-
thétie
ab
Théorème Y11I.
Deux polygones homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux.
NOTES SUR LE LITRE III. — NOTE 3l. 36 1
Soient les triangles abc , a'k'c', tous deux homothétiques au triangle s. ABC; ces deux triangles sont sembla- . blés et, de plus, ils ont leurs côtés respectivement parallèles; donc ils sont homothétiques.
Remarque 1. — Supposons qu’on ait AB BC .
ab Te ~~ ' ' " ~~ ’
AB BC
on en déduira
ab bc k'
âT‘ = VP =-"= T‘
Lorsque k = k', le côté ab = a' b', . . donc les deux triangles semblables abc , a'b'c' deviennent égaux.
De là il résulte qu’au moyen d’un seul centre de similitude S on peut, en faisant varier le rapport k de zéro à l’infini, construire tous les triangles homothétiques à un triangle donné ABC.
Remarque II. — Si les deux triangles abc , a'b' c' sont tous deux homothétiques directs ou homothétiques inverses par rapport au triangle ABC, ils sont homothétiques directs entre eux ; mais, si les deux triangles étaient l’un homothétique direct et l’autre homothétique inverse par rapport à ABC, ils seraient entre eux homothétiques inverses. Donc, parmi les trois systèmes homothétiques que peuvent former trois triangles considérés deuxàdeux, il yen a toujours un nombre impair(un ou troisjdont l’homolhélie est directe.
Remarque 111. — Pour plus de simplicité dans la figure, on a considéré des triangles; mais la démonstration ne changerait pas si les deux polygones avaient un nombre quelconque de côtés.
On verrait aussi de la môme manière que deux systèmes quelconques tle p oints , homothétiques à un troisième, sont homothétiques entre eux.
Reman/ue IF. — les centres de similitude de trois polygones , homothétiques deux h deux, sont en ligne droite.
Considérons toujours les triangles ABC, abc, «7/c';jedis, par exemple, que les centres S, S', S' sont en ligne droite.
En effet, le système des quatre points A, B, C, S', en prenant le point S
SA
pour centre et pour rapport de similitude k — —, a pour système homothétique a, b, r, s', et le premier système, en prenant pour centre le point S' et pour rapport de similitude k' = , a pour système homo-
thétique a', b', c', S' (le point S' étant lui-mèmo son homologue). Or, les deux systèmes a, b, c, s' et a', b', c', S' sont homothétiques entre eux; donc la droite s' S' ou la droite SS’ doit passer par le points'.
Lorsque trois polygones à centre sont homothétiques deux à deux, ils ont trois centres de similitude directe et trois centres de similitude inverse. Daus ce cas, les trois centres de similitude directe sont en ligne
36a hôtes sur lb litre iii. — note 32.
droite, et on verrait aussi que deux centres de similitude inverse et le centre de similitude directe, correspondant au troisième centre de similitude inverse, sont en ligne droite.
La droite qui passe par les trois centres de similitude directe s’appelle axe île similitude directe, et chacune des trois droites qui passent par deux centres de similitude inverse et un centre de similitude directe est un axe de similitiule inverse.
