SUR I,A DÉFINITION DES POLTGONES SEMBLABLES

Nous avons adopté la définition ordinaire des /nlygoncs semblables comme étant la plus naturelle ( 200).

Quelques auteurs ont objecté qu’elle contenait trop do conditions. En effet, en considérant des polygones de n côtés, elle exige : i° que les angles soient égaux chacun à chacun, ce qui fait /a conditions; 2° que les côtés homologues soient proportionnels, ce qui fait n — i conditions. Il y a donc en tout a n — i conditions.

Or, pour construire un polygone semblable à un autre de n côtés, on peut prendre un côté à volonté, et il n'y a plus qu’à déterminer la position des sommets des n — a angles qui doivent être situés hors de ce côté ; et, comme la position de chaque sommet exige deux données, le nombre des données nécessaires pour construire le second polygone sera a (n — a) ou an— 4. Donc la définition en question contient trois conditions de trop.

« Pour obvier à cet inconvénient on pourrait, » dit Legendre (dans ses Éléments de Géométrie, Note 1), « décomposer la définition en deux » autres do cette manière :

* 1“ Deux triangles sont semblables , lorsqu'ils ont deux angles égaux • chacun à chacun.

» a° Deux polygones sont semblables, lorsqu’on peut former dans l’un » et dans l’autre un même nombre de triangles semblables chacun à » chacun et semblablement disposés.

» Mais, pour que cette dernière définition ne contienne pas elle-même « des conditions superflues, il faut que le nombre des triangles soit égal » au nombre des côtés du polygone moins deux, ce qui peut avoir lieu » de deux manières. On peut mener des sommets do deux angles homo- » logues des diagonales aux sommets des angles opposés; alors tous les » triangles formés dans chaque polygone auront un sommet commun, et » leur somme sera égale au polygone; ou bien, on peut supposer que tous » les triangles formés dans un polygone ont pour base commune un côté » du polygone, et pour sommets ceux des différents angles opposés à » cette base. Dans l’un ou l’autre cas, le nombre des triangles formés » de part et d'autre étant n — a, les conditions de leur similitude seront » au nombre de a n — 4 ; et la définition ne contiendra rien de superfiu. > Cette nouvelle définition étant posée, l’ancienne deviendra un Ihéo- » rême qu'on pourra démontrer immédiatement. »

Ainsi, l’on pourrait donner des polygones semblables ces deux définitions, dont la première a été adoptée par quelques auteurs :

i° On dit que deux polygones sont semblables, lorsqu’en joignant dans chacun de ces polygones un sommet à tous les sommets des angles opposés, on forme des triangles semblables chacun à chacun et semblablement placés.

a* Deux polygones sont dits semblables, lorsqu'en joignant dans chacun de ces polygones les extrémités d'un côté aux sommets des angles opposés à ce côté, on forme des triangles semblables chacun à chacun et semblablement placés.

On peut encore définir les polygones semblables de la manière suivante :

Deux polygones sont dits semblables, lorsqu’ils peuvent être placés do telle sorte, qu'en joignant leurs sommets deux à deux par des droites, ces droites concourent toutes en un môme point et que les portions de ces mêmes droites, comprises entre ce point et les sommets, soient proportionnelles.

Du reste, cette définition peut s’énoncer plus simplement en disant : qu’un polygone est semblable à un autre, lorsqu’il est égal à l'un des polygones homothétiques à cet autre.

Cette dernière définition de deux polygones semblables aurait un avantage sur les autres en ce qu’elle peut s'étendre à des figures semblables quelconques. Mais, en somme, la définition ordinaire est celle qui me semble le mieux convenir dans les Eléments t le Géométrie. Les objections qu’on y oppose pourraient s’appliquer de même à la définition des figures égales, et cependant personne ne s’avisera de dire : qu'on appelle triangles égaux deux triangles qui ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ; qu’on appelle polygones égaux deux polygones composés d'un même nombre de triangles, égaux chacun à chacun et disposés de la même manière.