I". - ANGLES

Théorème I.

57. Dans le même cercle ou dans des cercles égaux , les angles au centre, qui interceptent des arcs égaux, sont égaux; et de deux angles au centre, qui interceptent des arcs inégaux, le plus grand est celui qui intercepte le plus grand arc.

i" Soient les cercles égaux 0, 0', et supposons que l’arc AB soit égal à l’arc CD; je dis que les angles AOB, CO'D, sont

égaux.

En effet, si on porte le second cercle sur le premier, de manière que le centre 0' tombe sur le centre 0, et si on fait tourner le cercle 0' autour du point 0 jusqu’à ce que l’arc CD coïncide avec son égal AB, les angles AOB, CO'D, se confondront; donc ils sont égaux.

2“ Soit l’arc AE plus grand que l’arc CD; je dis que l’angle AOE est plus grand que l’angle CO'D.

Car, en prenant l’arc AB égal à l’arc CD, l’angle AOB sera égal à l’angle CO'D : or, l’angle total AOE est plus grand que sa partie AOB; donc on a aussi

angle AOE > CO'D.

Corollaire. — Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, les angles au centre égaux AOB, CO'D, interceptent des arcs égaux. Car, si ces arcs étaient inégaux, les angles le seraient pareillement.

Si un angle au centre AOE est plus grand qu'un autre angle au centre CO'D, on a aussi l’arc AE>CD. Car, si l’on avait AE = CD ou AE<CD, on aurait de même l’angle AOE = CO'D ou l’angle AOE < CO'D, ce qui est contraire à l’hypothèse.

Problème.

58. Par l’extrémité A d’une droite Sx, mener une seconde droite qui fasse avec la première un angle égal à un angle donné a (*).

Pour cela, du sommet de l’angle a comme centre, avec un

(*) Lorsqu’on emploie à la fois une grande lettre A et une petite lettre a, la première se prononce grand A, et la seconde petit a.

l\ GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE I.

rayon quelconque, je décris un arc qui coupe les côtés de cet angle aux points b, c, et du point A comme centre, avec le même rayon, je décris un arc indéfini By; ensuite, du point B comme centre, avec un rayon égal à la corde bc, je décris un

troisième arc qui coupe Br au point C, et je mène la droite AC, qui formera avec Sx l'angle A égal à l'angle a.

Car les arcs bc, BC, sont décrits avec le même rayon, et de plus ils sont égaux, comme étant sous-tendus par des cordes égales; donc on a

Remarque. ■

Au moyen de ce problème il est facile de construire un angle qui soit la somme ou la différence de deux angles donnés.

Par exemple, s’il s’agit de faire la somme de deux angles, on fera l'angle AOB égal au premier angle donné, puis l'angle BOC égal au second, et l’angle AOC sera la somme

demandée. [Note 5.]

Théorème II.

59. Lorsque deux droites AB, CD, se coupent, les angles CEB, AED, opposés ait sommet, sont égaux.

En effet, si du point E comme centre, avec un rayon quelconque, on décrit une circonférence qui coupe les droites AB, CD, aux points F, G, H, K, les deux demi-circonférences FGH, GFK, sont égales, et, si de chacune on retranche la partie commune FG, on aura l’arc GH égal à l’arc FE. Mais dans le même cercle les arcs égaux sont interceptés par des angles au centre ’ égaux; donc l’angle GEH = FEK.

On démontrerait de même que les angles AEC, DEB, sont égaux.

Corollaire. — Si d'un point E, pris sur une droite AB, on mène de part et d’autre de AB deux droites EC, ED, de telle sorte que deux angles non adjacents CEB, AED, soient égaux, l'une de ces dernières droites sera le prolongement de l'autre.

Car le prolongement de CE, au delà du point E, doit former avec EA un angle égal à l’angle CEB; donc ce prolongement se confondra avec ED.

PERPENDICULAIRES ET OBLIQUES

§ II. - PERPENDICULAIRES ET OBLIQUES

Définitions.

60. Lorsqu’une droite CD en rencontre une autre AB, de manière à faire avec celle-ci deux angles adjacents CDA, CDB, ,c égaux entre eux, on dit que la première est

perpendiculaire sur la seconde. Le point de rencontre D est le pied de la perpendiculaire.

a d b 61. Une droite CD qui en rencontre une autre AB et qui ne lui est pas perpendiculaire est oblique sur celle autre. Le point de rencontre D est /c le pied de l’oblique.

-k ù ^ 62. Chacun des deux angles, formés par

une droite perpendiculaire à une autre, s’appelle angle droit. Souvent, pour abréger, au lieu de dire un angle droit, on dit simplement un droit.

Observation. — Lorsqu'une droite est perpendiculaire à une autre et qu’elle la divise en deux parties égales, on dit que la première droite est perpendiculaire sur le milieu de la secomle.

Perpendiculaire et obliques élevées sur une droite , d’un point pris sur cette droite. — Division d’une droite et d’un angle en deux parties égales.

63. Lorsque deux circonférences O, O', se coupent, la ligne des centres est perpendiculaire sur le milieu de la corde commune AB. (Pour abréger, on appelle souvent ligne des centres la droite indéfinie qui passe par les centres O, O'.)

En effet, si on fait tourner ensemble, autour de 00', les deux demi-circonférences qui se coupent au point B, jusqu’à ce qu’elles s’appliquent sur les deux autres, le point B devra tomber à la fois sur chacune des demicirconférences qui se coupent au point A, et par conséquent le point B tombera au point A. Donc l’angle OCB coïncidera avec l’angle OCA, et la droite CB avec la droite CA; donc 00' est perpendiculaire sur le milieu de AB.

Remarque. — Les angles ACx, BC/ sont égaux comme oppo-

ses au sommet, et il en est de même des angles BCr, AC r; donc les quatre angles formés autour du point C sont égaux entre eux. Donc, si une droite xy est perpendiculaire à une autre AB, réciproquement cette autre est perpendiculaire à la première.

Donc aussi, lorsqu'une droite est oblique à une autre, cette autre est oblique à la première. Car, si la seconde droite était perpendiculaire à la première, celle-ci le serait à la seconde, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

Problème 1.

G4. Élever une perpendiculaire sur le milieu d’une droite donnée AB.

Des extrémités A et B comme centres, avec des rayons égaux et plus grands chacun que la moitié de AB, je décris deux circonférences, et, comme la distance de leurs centres est moindre que la somme de leurs rayons et plus grande que leur différence, ces circonférences se couperont en deux points C et D (41); ensuite je mène la droite CD, qui coupe AB au point E, et je dis que CD est la perpendiculaire demandée.

Car les deux points C et D, étant chacun également distants des points A et B, peuvent être considérés comme les centres de deux circonférences qui auraient pour rayons CA, DA, et qui passeraient par les extrémités de AB. Donc AB est une corde commune à ces circonférences et CD est la droite qui passe par leurs centres; donc CD est perpendiculaire sur le milieu de AB.

Remarque. — Ordinairement, au lieu de décrire les deux circonférences qui ont pour centres A et B, on décrit seulement deux arcs de l’une, en dessus et en dessous de AB, puis deux arcs de l’autre, qui coupent les premiers aux points C et D.

Après avoir décrit avec le même rayon les deux arcs qui se coupent au point C, on peut décrire avec un autre rayon deux arcs qui se couperaient en un point D, et on verrait comme ci-dessus que la droite CD est encore perpendiculaire sur le milieu de AB. Ainsi, lorsque deux points d’une droite sont également distants des extrémités d’une autre droite, la première droite est perpendiculaire sur le milieu de la seconde.

PKRPEXIIICL'LAIHES ET OBLIOI ES.

Problêmb II.