AE = EB

Démarqué. — On diviserait de même chaque moitié de AB en deux parties égales, et ainsi de suite; on peut donc diviser AB en 2, 4, 8, 16, etc., parties égales.

ThCorèxe II.

66. Si du milieu C d'une droite AD on élève sur cette droite une perpendiculaire CD,

i° Tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités de la droite AB;

2° Tout point situé hors de ta perpendiculaire est inégalement distant des mêmes extrémités.

i° Soit le point E pris sur CD ; je dis que EA = EB.

En effet, si on fait tourner, autour de la perpendiculaire EC, p le triangle ECB jusqu'à ce qu’il s'applique

r sur le triangle ECA, l'angle ECB coïncidera F. avec son égal ECA, et, comme CB = CA, le

point B tombera sur le point A; donc les

; — F deux triangles coïncideront parfaitement,

et par conséquent EA = EB.

• 2° Soit ie point F situé hors de la perpendiculaire ; je dis qu’on aura FB<FA.

Car la droite FB est plus petite que la ligne brisée FE 4- EB ; mais EB = EA, donc on a

FB < FE 4- EA

ou FB < FA.

Corollaire I. — De l'égalité des deux triangles ECA, ECB, on peut conclure celle des angles EAC, EBC, et celle des angles CEA, CEB. Donc, si on élève sur le milieu d’une droite une perpendiculaire, les deux droites menées d'un point de la perpendiculaire aux extrémités de la première droite font avec celle-ci des angles égaux, et de plus la perpendiculaire est la bissectrice de l’angle formé par ces deux droites.

L’angle total FBA est plus grand que sa partie EBA, donc il

esl aussi plus grand ipie l'angle FAB. Donc les droites menées aux extrémités de AB, d’un point F extérieur à la perpendiculaire CD, font avec AB des angles inégaux.

Corollaire //. — On sait qu’en Géométrie plane on appelle lieu géométrique, ou lieu, une ligne dont tous les points jouissent d’une même propriété, à l’exclusion de tous les autres points du plan (24).

Donc ta perpendiculaire CD, élevée sur le milieu d 'une droite AB, est le lieu géométrique des points également distants des extrémités de cette droite.

De même, cette perpendiculaire est le lieu des points tels, qu’en les joignant aux extrémités de AB par deux droites, ces droites forment avec AB des angles égaux.

Remarque. — Lorsque deux droites, EA, EB, font avec une troisième droite AB des angles égaux, on dit que ces deux droites sont également inclinées sur la troisième. Les droites FA, FB sont inégalement inclinées sur AB, et celle qui fait avec AB le plus petit angle esl la plus inclinée sur celte droite.

Problème III.