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a aussi

le point D. On verrait de môme que les trois points A, e, E sont en ligne droite.

Ce! te réciproque pourrait être regardée comme une conséquence de la remarque II du théorème V de la Note 31 , en considérant les lignes bCDE, bcde comme deux lignes brisées semblables dont les angles sont de 1 80 degrés et dont les côtés sont parallèles et dirigés dans le même sons.

Seconde réciproque. — Soient les trois droites AB, AC, AD cou/rées j>ar les droites BD, bd, et supposons qu'on nit

BC CD

bc. cd ’

je dis que tes droites BD et bd sont parallèles.

En effet, si ces droites ne sont pas parallèles, menons bc"d" parallèle à BCD; alors on aurait

BC bc’

CD ~ c‘d“'

Mais, en vertu de l’hypothèse, on a

BC bc CD ~ cd’

donc on aurait aussi

bc" bc c“d" cd

De là il s’ensuivrait (221) que ce" devrait être parallèle à dd°, ce qui est contraire à l’hypothèse; donc la droite bd est parallèle à BD.

Réciproques des théorèmes F, FJ, VII (225, 226, 227 ).

Les réciproques de ces trois théorèmes peuvent s’énoncer ainsi :

i“ Lorsque deux droites Ax, A y se coupent en A, si l’on prend sur l’une de ces droites Ax, de />art et d’autre: du point A, deux segments

AB, AC, et qu’on prenne aussi sur A/, de part et d’autre du point A, deux segments AD, AE, de telle sorte que les deux premiers segments et les deux autres soient inversement proportionnels-, les extrémités B, C, D, E de ces segments seront sur une même circonférence.

a” lorsque deux droites Ax, A y se coupent en A, si l'on prend sur l’une de ces droites Ax, du même côté du point A, deux segments AB,

AC, et qu’on prenne aussi sur A y, du même côté du point A, deux segments AD, AE, de telle sorte que les deux premiers segments et les deux autres soient inversement proportionnels, les extrémités B, C, D, E de ces segments seront sur une même circonférence.

3“ Lorsque deux droites Ax, A y se coupent en A, si l’on jirend sur l’une de ces droites Ax, du même côté du point A, deux segments AB. AC et qu’on prenne sur A y un segment AD qui soit moyen proportionnel entre les deux autres, la circonférence passant par les trois points B, C, D sera tangente h la droite A y.

Ces trois propositions se démontrant de la même manière, nous nous bornerons à démontrer la seconde, |>ar exemple.

Polir cela, faisons passer une circonférence par les trois points B. C, E, * et soit D' le second point où cette circonférence

/ , coupe A y. D'après la proposition directe (220), on

aura

AB AE AD' ~ AC

Mais on a, par hypothèse,

AB AE

AD ~ AC’

donc AD' = AD, et par conséquent la circonférence doit couper Ay au point D.

Remarque I. — Soit un quadrilatère inscrit ABCD. Si l’on mène les diagonales AC, DB qui se coupent en E, et qu’on prolonge les côtés AD, BC jusqu’à leur rencontre au point F, les droites AC, DB seront deux cordes qui se coupent dans l’intérieur du cercle, et les droites AF, BF seront deux sécantes issues du point F. Donc, dans un quadrilatère inscrit, les diagonales se cou/sent en parties inversement proportionnelles, et les distances comprises entre tes extrémités de deux côtés opposés et le point de rencontre de ces côtés prolongés sont aussi inversement propor-

Et réciproquement : un quadrilatère est inscriplible, lorsque ses diagonales se coupent en parties inversement proportionnelles, ou bien lorsque les distances comprises entre les extrémités de deux côtés opposés et te point de rencontre de ces côtés prolongés sont inversement proportionnelles.

tionnelles.

Remarque II. — Chacun des angles FAB, FCD [fig. ci-dessus) est le supplément de l’angle DCB; donc ces angles sont égaux. Ainsi, les droites AB, DC tracées entre les côtés de l’angle AFB sont telles, que la première fait avec le côté FA un angle égal à celui que la seconde fait avec l’autre côté FB. et pour cette raison on dit que les deux droites AB, DC sont , anti-parallèles.

De même, les deux droites AB, 1X1 qui sont menées, l’une entre les côtés de l’angle AEB et l’autre entre les côtés de l’angle opposé au sommet DEC, sont dites anti-parallèles parce que les angles EAB et EDC sont égaux.

Conséquence. — Lorsque les côtés d'un angle F sont coupés par deux droites anti-parallèles AB, DC, les ilistances FA, FD et les distances FB, FC sont inversement pro/sortionnelles. Cela résulte de la similitudo des triangles FAB et FDC.

Réciproques du théorème VIII (230).

Première réciproque. — Si d’un point D pris sur une droite BC, entre ses extrémités B et C, on élève sur BC une perpendiculaire DA telle

qu’on ait

AB* = BC x BD,

te triangle ABC sera rectangle en A.

Sur BC, comme diamètre, décrivons une demicirconférence ; soit A' le point d’intersection de cette demi-circonférence avec la droite DA, prolongée s’il est nécessaire, et menons les cordes t A’B, A'C. On aura (230)

Âdi’ = BC x BD,

et, si l’on compare cette égalité à celle qui est donnée par hypothèse, il s'ensuit que A’B = AB, et par conséquent la demi-circonférence doit passer par le point A. Donc l’angle BAC est droit.

Seconde réciproque. — Si d’un point D pris sur une droite BC, entre ses extrémités B et C, on élève sur BC une perpendiculaire DA telle qu’on ait