TO “ R

Multipliant ce s égalités membre à membre, il vient

OS x O'U x O" T SO' x ÜU" x TO

Ainsi, les trois points S, T, U, pris en nombre impair sur les prolongements des trois côtés du triangle Oü'O', déterminent six segments tels, que le produit de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres; donc l<s points S, T. U sont en ligne droite.

On démontrerait pareillement que deux centres de similitude inverso et le centre de similitude directe, correspondant au troisième centre de similitude inverse, sont en ligne droite.

En considérant la figure du théorème VII de la Note 31, on verrait avec la même facilité que les centres de similitude de trois /xsl/gones, homothétiques deux à deux, sont en ligne droite. Car on aurait

AS AB «S^ nô a' S' a'b'

S a ni) S”«' ' a'b'' S'A AB ’

et, par suite,

AS x a S' x a' S^ i SaxS"a'xS'A —

Théorème III.

Si des trois sommets tPun triangle ABC on mène trois droites passant par un même point O, ces droites déterminent sur les côtés tlu triangle, considérés comme indéfinis, six segments tels, que le produit de trois segments non consécutifs AD, BE, CF est égal au produit des trois autres DB, EC, FA.

Car, le triangle ABE étant coupé par la transversale DC, on a AD x BC x EO = DB x CE x OA.

De même, le triangle AEC coupé par la transversale BF donne AO x EB x CF — OE x BC x FA.

Multipliant cette égalité par la précédente et supprimant les facteurs BC, EO, AO, communs aux membres, il vient

AD x BE x CF = DB x EC x FA.

Théorème IV.

Réciproquement, si trois points, pris en nombre im/utir sur les côtés d’un triangle ABC ou en nombre pair sur leurs prolongements, déterminent six segments tels, que le produit de trois segments non consécutifs

38o NOTES SUR LE LIVRE lit. — NOTE 3^.

soit égal au produit îles trois autres, les trois droites qui joignent ces

points aux sommets op/msés concourent en un même point.

Soient les points D, E, F tels qu'on ait

AD x BE x CF = DB x EC x FA ;

je dis que les droites AE, BF, CD se couperont en un mémo point.

Menons les droites AE, CD, qui se coupent au point O, et supposons que la droite BO rencontre AC au point F'. On aura

AD x BE x CF' - DB x EC x F' A ; et, si l’on divise légalité donnée par celle-ci, il vient CF FA CF' " F' A ’

et, par suite,

CF CF-i-FA CA CF' “ CF'-l-F'A “ CÀ‘

Do là il résulte que CF = CF' ou que la droite BO doit rencontrer AC au point F; donc la proposition est démontrée.

Remarque. — Ce théorème peut servir à démontrer que trois droites d’une figure concourent en un même point.

Par exemple, nous allons faire voir que tes trois hauteurs AD, BE, CK d'un triangle ABC se coupent en un meme point.

Car les triangles AFC et AEB sont équiangles, ainsi que les triangles BDA et BFC, CEB et CDA; donc on a