AF AC BD AB CE BC

EA AB’ FB ~ BC’ ÜC " AC ’

Multipliant ces trois égalités membre à membre, il vient

AF x BD x CE FB x DC x EA ~~ 1 ’

Ainsi, les trois points F, D, E, pris en nombre impair sur les cétés du triangle ABC, déterminent six segmeuts tels, que le produit de trois segments non consécutifs est égal au produit des Dois autres; donc les droites AD, BE, CF se coupent en un mémo point.

D après ce même théorème, on peut aussi conclure immédiatement que dans un triangle les trois médianes se coupent en un même point , et démontrer, en se fondant sur le n° 519, que les bissectrices des trois angles d’un triangle se coupent en un même point.

De la division harmonique îles lignes limites.

DÉFISITIONS.

Trois nombres forment une pro/roriion harmonique, lorsque le premier moins le deuxième est au deuxieme moins le troisième comme le premier est au troisième. Par exemple, les nombres G, 3 et 2 sont en proportion harmonique.

Le second nombre a reçu le nom de moyenne harmonique.

Pour qu’une corde sonore rende les trois sons ut, mi, sol, qui forment l'accord parfait majeur, il faut en faire vibrer trois parties, dont les lon-

gueurs soient entre elles comme les nombres

et ces nombres

donnent légalité

de là vient la dénomination de proportion harmonique.

Supposons que les points C et D divisent la droite AB en segments

proportionnels (voir Note 3i, ; J * — — j — Variations, etc., probl. I, re-

marque II ) ; on aura

AC AD