AD - CD AD CD — BD ~ BD

donc la droits CD est aussi divisée harmoniquement par les points A et B, qui sont des points conjugués harmoniques par rapport à la droite CD ou par rapport aux points C et D.

On dit que les quatre points A, B, C, D sont harmoniques ou qu’ils for-

ment un système harmonique. On dit aussi que les deux segments AB, CD sont conjugues harmoniques.

Remarque. — Les centres de similitude ou d'hnmnthêtie S et S de deux — cercles divisent harmoniquement ta

distance des centres O o. Car les \ / ' distances des points S, S' aux

5 J s" V. ô J T" points 0, o sont proportionnelles

/ — [voir Note 33, théor. II, rem. II),

■ et l’on a

OS OS' oS S'o

De môme, si deux polygones à centre sont homothétiques, leurs centres 0, 0 et leurs centres do similitude S, S' sont quatre points harmoniques.

Quatre droites SA, SB, SC, SD passant par un môme point Set par quatre points harmoniques A, B, C, D forment un faisceau harmonique. Les deux droites qui passent par deux points conjugués harmoniques sont appelées conjuguées harmoniques.

Remarque. — Si, par une droite parallèle à AB, on coupe les rayons du faisceau aux points a, b, c, d , ces quatre points sont aussi harmoniques (22-i).

On appelle quadrilatère complet un système de quatro droites indéfinies qui se coupent en six points A, B, C, D, E, F. Ces points sont les sommets du quadrilatère et les trois droites AC, BD, EF en sont les diagonales.

Reman/ue. — Pour passer d’un quadrilatère convexe ABCD à un quadrilatère complet, il suffit de prolonger les côtés opposés jusqu’à leur rencontre aux points E et F; et l’on voit qu’on obtient aussi un quadrilatère complet en coupant un triangle AED par une transversale BCF.

TliÉORÈÜE I.

Si une droite AB est divisée harmoniquement par deux points C et D la moitié de cette droite est moyenne proportionnelle entre les distances de son milieu E aux p oints conjugués C et D.

Car, en vertu de l’hypothèse, on a

~n AC AD

CB~ Bü

AE-t-EC ED-t- AB AE - EC ~ ED - ÂE'

Mais, ces rapports étant égaux, la somme des deux termes du premier est à leur différence comme la somme des deux termes du second est à

x êc à

leur différence; donc

1 AE aED ÏEC ~ âÂK ’

d'où l'on tiro

AË! = ECxED.

Remarque I. — Réciproquement, si la moitié (l’une droite AB est moyenne proportionnelle entre tes distances du milieu E de cette droite à deux points C et D, pris sur ta direction de AB et d’un même côté du point E, la droite AB est divisée harmoniquement par les points C et D.

Car de l’égalité AK = EC x ED on déduit successivement

AE ED AE-t-EC ED -|- AE AC AD