GF “ FH

donc les quatre points E, F, G, H sont harmoniques.

Rcman/ue I. — La démonstration ne changerait pas si quelques-uns des points E, F, G, lise trouvaient sur les prolongements des rayons SA, SB, SC, SD, ou s'ils s'y trouvaient tous les quatre.

D’ailleurs, on peut mener la parallèle à AD par l'un quelconque des points E, F, G, 11; seulement, pour éviter toute confusion, il est bon de se rappeler que le triangle à considérer doit avoir pour l'un de ses côtés relui des deux segments conjugués EF, GH, dont l’une des extrémités est sur la parallèle à AD.

Remarque II. — Concevons qu’on fasse tourner la droite EGFH autour du point F, par exemple, de manière que le point E s’éloigne indéfiniment du point S; alors le point F sera toujours le conjugué harmonique du point E par rapport au segment GH, et lorsque la droite EFGU sera parallèle i AS, le point F sera le milieu de GH; et réciproquement, si une droite EGFH coupe le faisceau SABCD et que GF = Fil, le point E sera à l’infini, et par conséquent la droite EGFH sera parallèle à AS.

Nous allons, du reste, démontrer directement la première de ces deux propositions :

Tuéohèue 111.

Si ion coupe un faisceau harmonique SABCD par une (boite KBF jmrallèlc à l’un des rayons AS,- cette droite est divisée />ar les trois autres rayons en deux parties égales.

fj\

tt-A

ty i

Menons par le point B une transversale quelconque AD. Les triangles SAC, EBC seront semblables, ainsi que les triangles SAD, FBD, et l’on aura

AS AC

EB ~ CB et

AS AD