EB = BF

Remarque I. — Réciproquement, si quatre limites SA, SB. SC, SD passant par un même point S sont telles, que trois d’entre elles divisent en deux parties égales une droite EBF parallèle à la quatrième AS, ces quatre droites forment un faisceau harmonique.

Soit toujours la transversale ABD. Puisque la droite EBF est parallèle à AS et que EB = BF, il en résulte, d'après la Nole3t [Variations, etc., probl. Il), que les distances de chacun des points C et D aux points A et B sont entre elles comme AS est à EB; donc les quatre droites SA, SB, SC, SD forment un faisceau harmonique.

Remarque II. — Le problème, auquel on vient de renvoyer dans la remarque I, donne le moyen de diviser harmoniquement une droite AB par

AC

les points C et D de telle sorte, que le rap/mrt —g soit égal à celui de deux droites données m et n.

Remarque III. — Si deux rayons conjugués SA , SB d’un faisceau harmonique sont rectangulaires, res rayons sont les bissectrices des angles supplémentaires CSD, CSD', formés / >ar tes deux autres rayons SC, SD.

Car, une transversale EBF perpendiculaire à SB étant alors parallèle au rayon AS, on a EB = BF, et les triangles rectangles SBE, SBF sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; donc la droite SB est la bissectrice do l’angle CSD, et, par suite, la droite SA perpendiculaire à SB est aussi la bissectrice de l'angle CSD' (tli).

Réciproquement : Deux droites SC, SD forment un faisceau luirmonique avec les bissectrices SA, SB des angles supplémentaires CSD', CSD. Car, ces bissectrices étant perpendiculaires entre elles, une transversale EBF parallèle à AS est perpendiculaire à SB; d’où il résulte que les triangles rectangles SUE, SBF sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, et que EB = BF. Donc les quatre droites SA, SB, SC, SD forment un faisceau harmonique.

TnÉoaiiME IV.

Chacune des diagonales d’un quadrilatère complet ABCDEF est divisée harmoniquement par les lieux autres.

Considérons d’abord le triangle ayant pour deux de scs sommets les extrémités de la diagonale EF, et pour troisième sommet l’un des quatre points A, B, C, D, le point A par exemple. Dans ce triangle les droites AG, ED, FB se coupent en un même point C ; donc

AB x EG x FD = BE x GF x DA, et d’ailleurs, le triangle AEF étant coupé par la transversale BDII, on a AB x Eli x FD = BK x HF x DA.

Klèments. 25

Divisant la première égalité par la seconde, il vient