EG EH 4 GF ~ FH

donc la droite EF est divisée harmoniquement aux points G et H.

On verrait de même que chacune des diagonales AC, BD est divisée harmoniquement par les deux autres.

Du pôle et de la polaire /rar rap/mrt à lin systèmede deux lignes droites. Théorème I.

Un angle ASB et un point D étant donnés, si l'on mène /uir ce point une transversale DBA et qu’on détermine le point C conjugué harmonique du point D par rapport au segment AB compris entre les côtés de V angle, le lieu géométrique du /mini C, lorsque ta transversale tourne autour du point D, est la tlroite SC conjuguée harmonique de SD par rap/rort mue droites SA, SB.

Car, les quatre droites SA, SB, SC, SD formant un faisceau harmonique, si la transversale DBCA prend la position D l>rn, par exemple, le point c où la transversale coupera SC sera le conjugué harmonique de D par rapport à ab ; donc tout point du lieu se trouve sur la droite SC.

Définitions. — Le point D est dit le pôle de la droite SC et celte droite est la \xdnire du point D, par rapport à l’angle r S v.

Le point D n'a qu’une seule polaire SC par rapport à l’angle ASB ; mais la droite SC, par rapport à ce même angle, a pour pôle un point quelconque de la droite SD.

Théorème II.

Un angle ASB et un /mini D étant donnés, si l’on mène par ce point deux transversales quelconques DBA, D ha, cl les droites A b, IG/ qui se coupent nu point M, le lieu du /wint M est la /rolaire du point l) par rap/xir! à l’angle ASB.

Car, S//MAAB étant un quadrilatère complet, la diagonale SM rencontre la diagonale AB en un point C qui est le conjugué harmonique de D par rapport à AB; donc la droite SC, qui est la polaire du point D par rapport à l'angle ASB, est le lieu géométrique du point M.

Remarque 1. — S’il s’agissait des deux transversales A A, B« menées par le point M, les droites AB, ab se couperaient en D, et le lieu du

point D sérail la polaire du point M. Car, ABAnSD étant un quadrilatère complet, la diagonale SD couperait la diagonale AM b en un certain point, E par cxemplo, qui serait le conjugué harmonique de M par rapport à A b\ donc la droite SD, qui est la polaire du point M par rapport à l’angle j-S r, est le lieu du point D.

Remarque II. — On peut démontrer ce théorème sans rocourir à ce qui a été vu sur le quadrilatère complet.

En effet, soit C le point conjugué harmonique du point D par rapport à AB; les quatre droites MA, MB, MC, MD formeront un faisceau harmonique, et, par conséquent le point c, où la transversale D a coupe MC, est le conjugué harmonique du point D par rapport à ab-, donc la droite CMr est la polaire du point D par rapport à l'ange ASB.

Cela posé, on peut en déduire que chaque diagonale du quadrilatère complet SflM&AB est divisée harmoniquement par les deux autres.

Car, le point D étant le pôle de la droite SM par rapport à l'angle ASB, il s’ensuit que C est le point conjugué harmonique de D par rapport à AB, et quec est aussi le point conjugué de D par rapporté ah. EnQn, le point S est le pôle de la droite DM par rappoit à l'angle ADn; donc M est le point conjugué harmonique de S par rapport à la droite Ce.

Remarque 111. — Ce théorème donne le moyen de résoudre, avec la règle seulement, le problème suivant :

Etant donnés une droite AB et un />oinl D sur cette droite, trouver le point conjugué harmonique de D par rapjtort à AB.

Pour cela, on joint les points A et B à un point quelconque S; on mène la transversale quelconque D ha. puis les droites A h, B a qui se coupent au point M; enfin on trace la droite SM qui rencontre AB au point demandé C.

Du fuile et de la / solaire dans le cercle.

Théorème 1.

■Si par un point D, pris dans le plan d’un cercle O, on mène une sécante quelconque DBA et qu'on détermine le conjugué harmonique C du point D par rapport à la conte AB, le Heu géométrique du point C, lorsque la secanle tourne autour du point D, est une ligne droite perpendiculaire au diamètre ab qui passe par le point D.

Déterminons le point du lieu situé sur le diamètre ab, c’est-à-dire le conjugué harmonique c du point D par rapport à ab ; menons la droite Ce et abaissons OF. perpendiculaire à AB. Puisque le point E est le milieu de la droite AB divisée harmoniquement par les points C et D, on a (Div. harnt., théor. I, rem. Il),

De mémo,

DA x DB = DE x DC.

D« x Di = DO x De;

mais DA x DB = Do x D& (226) ; donc

DE x DC = DO x De.

De cette égalité il résulte que le quadrilatère OECc est inscriptible (voir la Note 36), et, comme l’angle ÜEC est droit, l'angle OrC l’est pareillement; donc le lieu géométrique du point C est la droite Ce perpendiculaire à DO et passant par le peint c conjugué harmonique du point D par rapport au diamètre ab.

Définitions. — On dit que le point D est le pâle de la droite Ce et que cette droite est la polaire du point D, par rapport au cercle O.

Remarque. — Puisque le point O est le milieu de la droite ab divisée harmoniquement par les poids c et D, on aura, en désignant le rayon O b par R,

OrxOD = R’;

donc, le rayon (la cercle est inor en proportionnel entre les distances dit centre au /m}/c et à la f/olairc.

De cette relation on peut tirer plusieurs conséquences :

1° Si d'un point D extérieur à un cercle O on mène des tangentes DF, DF', In corde qui joint les points de contact F, K' est ta polaire du point D. Car le triangle rectangle OFD donne (230)

Oc x OD = ÔF* = R’.

Réciproquement, si par les extrémités d'une corde FF' on mène des tangentes FD, F' D, leur point d'intersection D sera le pôle de la droite FF'.

a° Si le point D se meut sur la droite DO et se rapproche du point b , le point c s’en rapprochera pareillement, et, lorsque le point D se confond avec b, il en est de même du point c. Donc, la polaire d’un point du cercle est la tangente en ce point ; et réciproquement, le pâle d'une tangente est son piint de contact.

3° Si le point D venait se placer au point c, le point c prendrait la place du point D. Donc, ta polaire de l’un île ces points passe par l’autre, et vice versa.

4“ Si le point D se rapproche indéfiniment du centre O, la distance Oc augmente indéfiniment. Donc, la polaire du centre est à tinjini, et elle est toujours perpendiculaire à la direction du diamètre ab sur lequel on fait mouvoir le pâle D.

5° Au contraire, si le point D se meut dans le sens OD et qu’il s'éloigne indéfiniment du centre, le point c s’en rapprochera indéfiniment. Donc, la pilaire d’un piint qui s'est éloigné indéfiniment du centre ilans une certaine direction est le diamètre perpendiculaire à cette direction.

Théorème U.

Les f Hilaires tic tous les points d’une droite xj par rappn t à un cercle O / Missent par le pâle de celte droite.

Menons le diamètre AB perpendiculaire à xy au point D, et soit C le pôle de xy\ je dis que la polaire d’un point quelconque D' de xy passe par le poinlC.

Car, en abaissant sur OD’ la per|>endiculaire CC', les triangles semblables ODD', OCC' donnent

et, par suite,