OC

donc la droite CC' est la polaire du point D'.

Remarque I. — Réciproquement, si par un point C on mène une droite quelconque CC', le /Me île cette droite sera situé sur la / solaire xy du point C. Car, en abaissant sur CC' la perpendiculaire OC' qui rencontre xy au point D', les triangles semblables ODD', OCC' donnent encore

OC'x OD - OC x OD = Ob' ;

donc D' est le pôle de CC'.

Remarque JT. — Ce théorème et sa réciproque peuvent s’énoncer de cette manière : l/irsqu'un /mint D se meut sur une droite xy, la polaire de ce /mint tourne autour du /Me C de cette droite; et inversement, si une droite CC' tourne autour du pôle C d’une droite xy, le pôle de CC' se meut sur xy.

De là les conséquences suivantes :

l° Si des différents points d’une droite xy on mène des couples de tangentes à une circonférence, les cordes de contact passeront toutes par le /tôle de xy. Car ces cordes sont respectivement les polaires des différents points de la droite.

i° Si par un même p oint C on mène à un cercle autant de sécantes qu’on votu Ira, puis des tangentes aux points d'intersection de chaque sécante avec la circonférence, te lieu des points de rencontre des tangentes, considérées ainsi deux à deux, sera la polaire du /mint C. Car lo point de rencontre de deux tangentes est le pôle do la sécante qui correspond à ces tangentes.

3° lui droite qui joint les pôles de deux droites est la /solaire de leur point de rencontre. Car le pôle de la première droite doit se trouver à la fois sur les deux autres droites.

4” Si deux polygones d’un même nombre de côtés tracés dans le plan d un meme cercle sont tels, que les sommets de l’un soient les pôles des côtés de i autre par rap/rort à ce cercle, les sommets du second polygone seront réciproquement les /rôles des côtés du premier.

Définition. — Deux polygones sont dits polaires réciproques, lorsque les sommets de l’un sont les pôles des côtés de l’autre par rapport à un cercle.

5" Si un /m/ygone est circonscrit à un cercle et qu'on joigne les /romts

de contact consecutifs, on formera un second polygone qui sera te polaire

réciproque du premier.

Théorème III.

Si par un point D, pris dans le plan d’un cercle 0, on mène deux sécantes quelconques DBA, D ha et qu’on tire les droites A a, B 4 qui se entt- / Kiit en M, ainsi que les droites A 4, B a qui se coupent en N, le lieu géométrique des points M et N est la polaire du //oint D.

Car, en considérant le quadrilatère complet MaN4AB, on voit que la diagonale MN coupe les deux autres AB, ab aux points C et c qui sont respectivement les conjugués harmoniques du point D par rapport aux droites AB, ab ; donc la droite MN est la polaire du point D.

Remarque J. — S’il s’agissait des deux sécantes A4, a B menées par le point N intérieur au cercle, les droites A a, B4 se couperaient en M, les droites AB, ab se couperaient en D, et le lieu des points M et D serait la polaire du point N. Car le point D est le pôle de la droite MN, comme on vient de le voir, et, par une raison semblable, le point M est le pôle de la droite DN; donc le point de rencontre des droites MN, DN est le pôle de MD.

Du reste, il serait facile de démontrer directement que MD est la polaire du point N. Pour cela on prolongerait les sécantes A4, aB jusqu'à la rencontre de MD, en E et en F, par exemple; alors, en considérant le quadrilatère complet AB4aMD, on verrait que la diagonale MD coupe les deux autres A4, aB aux points E et F qui seraient respectivement les conjugués harmoniques du point N par rapport aux droites A4, aB ; donc la droite MD serait la polaire du point N.

Remarque U. — Dans le triangle MND, chaque côté est la polaire du sommet opposé. Donc, dans tout quadrilatère inscrit à un cercle, le point d’intersection des diagonales et tes points de concours des côtés opposés déterminent un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté opposé.

Remarque III. — D’après ce théorème, on peut, au moyen de la règle seulement, construire la polaire d’un point D par rapport au cercle O; et, par suite, si le point D est extérieur au cercle, on peut aussi mener par ce point des tangentes au cercle.

De l’hexagone inscrit et de l’hexagone circonscrit <1 une circonférence.

Tdéorème I.

Dans tout hexagone ABCDEF inscrit à une circonférence, tes points de concours G, H, K des côtés op/msés (AB et DE, BC et EF, CD et FA) sont en ligne droite.

Car, en prolongeant les trois côtés non consécutifs AB, CD, EF, on forme le triangle LMN qui est coupé par les transversales EDG, FAH,

CBK, donc, en verlu du théorème fondamental dus transversales, on

aura

NE x LG x MD = EL x GM x DN,

NF x LA x MH ~ FL x AM x HN,

NK x LB x MC = KL x BM x CN.

Multipliant ces égalités membre à membre, et remarquant qu’on a

NE x NF = DN x CN,

MCxMD- BM x AM,

LA x LB = FL x EL ,

il vient

LG x MH x NK = GM x HN x KL; donc les trois points G, H, K sont en ligne droite.

Remarque. — Ce théorème est dù à Pascal. Il est vrai lors même que l’hexagone n'est pas convexe.

De plus, comme ce même théorème ne dépend pas de la grandeur des côtés, il est encore vrai lorsque certains côtés de l’hexagone deviennent nuis; mais alors il faut remplacer chaque côté qui devient nul par une tangente à la circonférence.

Par exemple, un triangle étant inscrit dans un cercle, si l’on mène par ses sommets des tangentes à ce cercle, les points de concours de ces tangentes avec les côtés op/msés seront en ligne droite.

Théorème IL

Dans tout hexagone ABCDEF circonscrit à une circon férence, les trois diagonales qui joignent les sommets opposés (A et D, B et E, C et F) se coupent en un même point.

Car, en joignant les points de contact consécutifs, on forme l’hexagone inscrit abedef qui est le polaire réciproque de ABCDEF.

Maintenant, les sommets A et D étant les pôles des côtés fa, cd, de l’hexagone inscrit, le point de concours de ces côtés, que je désignerai

par G, sera le pôle de la diagonale AD. De même, le |>oinl de concours H n des côtés ab, de sera le pôle de la diagonale BE,

et le point de concours K des côtés Oc, cf sera le pôle do la diagonale CF. Or, les trois points G, II, K sont on ligne droite; donc leurs polaires AD, BE, CF se coupent eu un môme point qui est le pôle de la droite GIIK.

Remarque. — Ce théorème est dû à Brian* chon.

Comme il ne dépend pas de la grandeur des angles, il est encore vrai lorsque certains angles de l'hexagone deviennent égaux à deux droits.

Par exemple, un triangle circonscrit à un cercle peut être regardé comme un hexagone qui aurait pour sommets les trois sommets du triangle et les trois points de contact. Donc, dans un triangle circonscrit à un cercle, les trois droites qui joignent tes sommets aux points de contact des côtes opposes /tassent par un meme point.

Observation. — Pour démontrer ce théorème II, on a construit le polygone abedef qui est le polaire réciproque du polygone propose ABCDKF per rapport à un cercle directeur , qui, dans ce cas, est le cercle inscrit dans le polygone proposé; puis, d'une propriété du polygone abedef on a conclu une propriété correspondante ou corrélative du polygone ABCDEF. Ce mode de démonstration rentre dans une méthode generale connue sous le nom de méthode des polaires réciproques.

Des figures inverses ou réciproques Définitions.

Lorsque trois points sont en ligne droite, on appelle puissance do l'un de ces points par rapport aux deux autres, le protluit des distances de ce point aux deux autres. Mais ce produit doit être affecté du signe -+si le premier point est d’un même côté des deux autres, et du signe — si le premier point est placé entre les deux autres. Ainsi, en considérant sur une droite trois points S, A, B rangés dans cet ordre, la puissance du point S, relativement aux points A et B, est + SA x SB; et, s'ils étaient rangés dans l'ordre A, S, B, la puissance du point S serait — SA x SB.

Si, par un point S et par les différents points A, B, C,. . . d'une figure, on mène les droites SA, SB, SC, . . ., et qu’on prenne sur ces droites des distances SA', SB', SC',... telles qu'on ait

SA x SA = SB x SB'= SC x SC' = . . . = p

[p étant une quantité positive ou négative), on dit que la nouvelle figure A’, B’, C',. . . est inverse ou réciproque de la première.

Le point S s’appelle origine, et l'on donne à la quantité p le nom de puissance, comme étant la puissance constante du point S par rapport aux différents systèmes de points A et A', B et B', etc.

Remarque. — La figure F' inverse d'une figure donnée F est parfaitement déterminée, lorsqu’on donne en outre I origine S et la puissance p.

D'ailleurs il est clair que la figure donnée F est aussi la figure inverse de F*, en prenant toujours S pour origine et pour puissance p.

Si deux figures F' et F’ gont chacune inverses de la figure F, en prenant la même origine cl deux puissances égales et de signes contraires, les figures F' et F* sont symétriques par rapport au point S, et, par conséquent, elles sont égales. Car, en faisant tourner l'une de ces figures autour du point S de 180 degrés, cette figure coïncidera avec l'autre.

Théorème I.

La figure inverse d'une droite xy par rapport h un point quelconque S, pris /Mmr origine, et suivant une puissance donnée p est une circonjérencc.

De l'origine S abaissons sur xy la perpendiculaire SP, déterminons sur

SP lo point P’ de manière que le produit SP. SP' soit égal à la puissance donnée, que nous supposerons positive et égale à /«’, et sur SP' comme diamètre décrivons une circonférence 0 ; alors cette circonférence sera une figure inverse de xy.

Car, si l’on mène à xy une droite quelconque SA qui coupe la circonférence au point A' et qu’on tire la corde A’P', on formera un quadrilatère APP'A' dont les angles en P et en A' sont droits, et qui, par conséquent, est inscriptible; donc on a (228)

SA.SA'= SP.SP'= m7.

Remarque I. — Si l’on portait sur le prolongement de PS, au delà de l’origine S, une longueur SP' égale à SP' et qu’on décrivit sur SP” comme diamètre une circonférence O', celle seconde circouférenco égale à la première serait la figure inverse de xy par rapport à la même origine S et suivant la puissance — ni'.

Remarque II. — Pour déterminer le point P', on peut élever du point S sur SP une perpendiculaire SL égale à ni, joindre le point P au fioint L, et élever du point L sur PL une perpendiculaire qui rencontrerait le prolongement do SP au point P' (230). On connaîtrait ainsi la distance SP' égale à SP', et par suite le point P’.

Pour obtenir le point P', on peut aussi décrire une demi-circonférence sur SP comme diamètre, déterminer sur cette demi-circonférence le point M dont la distance au point S est égale à m, et la perpendiculaire abaissée du point M sur SP tombera au point P'. Mais celte construction suppose qu’on ait m < SP.

Si l’on avait m > SP, on déterminerait sur xy un point N dont la distance au points serait égale à m et la perpendiculaire élevée du point N sur la droite SN rencontrerait SP au point cherché P'.

Remarque III. — La figure inverse d'une circonférence O /uir rapport à l'un quelconque de ses jmints, S par exempte , et suivant ta puissance m7, est une droite xy perpendiculaire au diamètre SP' passant par

l'origine. La dislance de cette droite à l'origine est égale à

Remarque IV. — Une droite xy et une circonférence O peuvent être regardées comme deux figures inverses l’une île l’autre. Ces figures sont

3ç)4 NOTES SIR LE LIVRE III. — NOTE 3?.

inverses, en prenant pour origine l’une ou l’autre des extrémités du diamètre SP' perpendiculaire à xy; et, lorsqu’on prend pour origine 1 extrémité S, on a vu que la puissance correspondante est 4- SP x SP'. Si l’on prenait pour origine l’extrémité P', la puissance serait — SP'x P' P; car, en menant à xy une droite quelconque P' A, qui coupo la circonférence au point A', les angles SPA, et SA'A, sont droits; donc le quadrilatère SA'PA, peut être inscrit dans un cercle décrit sur SA, cornino diamètre, et l’on a (225)