SA'. SB

Cela posé, menons encore à xy la droite SC qui coupe la circonférence O en C' et tirons la corde A'C'. On aura un quadrilatère inscrit SA'B'C', et, en prenant S pour origine et pour puissance une constante quelconque m', les sommets A', B', C' auront pour réciproques des points A, B, C situés sur une droite telle que xy perpendiculaire au diamètre SP'; donc on a

Maintenant, si l’on suppose m' ~ i et qu’on remplace les distances AC, AB, BC par leurs valeurs, il vient

(l) SA'. SC' “ SA'.SB’"*- SB'.SC'

(a) A'C' x SB' = A'B' x SC' 4- B'C’ x SA’;

donc, dans un quadrilatère inscrit SA' B'C', te //rodait des diagonales est égal à la somme des //rodai ts des côtés opposes. Ce théorème, attribué à Ptolémée, a déjà été démontré au n“ 256.

Réciproquement, tout quadrilatère SA' B' C' qui jouit de cette propriété est inscriptible. Car on a l’égalité (a) par hypothèse, et par suite l’égalité (i); de plus, si l’on détermine les points A, B, C réciproques des sommets A', B', C', en prenant S pour origine et pour puissance l’unité, on pourra passer de l’égalité(i) à celle-ci :

NOTES SUR LB LIVRE 111. NOTE 37. 3l)5

Donc les trois points A, B, C seront en ligne droite, et, par suite, les sommets A', B', C' sont situés sur une circonférence passant par l’origine S, ce qu’il fallait démontrer.

Observation. — Pour démontrer que dans un quadrilatère inscrit SA'B'C', le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés , on a construit les points A, B, C réciproques des sommets A', B', C’ par rapport à I origine S et suivant une puissance m* (qu’on a supposée égalé à 1 pour plus de simplicité j puis, d’une propriété de la figure obtenue on a conclu une propriété correspondante de la figure proposée. Ce mode de démonstration rentra dans une méthode generale connue sous le nom de méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques.

La proposition réciproquo a été démontrée par la même méthode.

Autre observation. — Dans tout ce qui précède on a supposé que l'origine S était située hors de la droite xr. Si le point S était sur xv, la figure inverse de xv serait celte droite elle-même.

Théorème II.

La figure inverse d’une circonférence 0 par rapport U un point quelconque S de sun plan, pris pour origine, et suivant une puissance donnée est une seconde circonférence.

Par l'origino S menons la droite SO qui coupe la circonférence 0 aux

points P et Q, déterminons sur SO les points P' et Q' de maniéré que les produits SP.SP' et SQ.SQ' soient égaux chacun à la puissance donnée, que nous supposerons positive et égale à ni1, et sur Q'P' comme diamètre décrivons une circonférence 0'; alors cette circonférence sera une ligure inverse de la circonférence 0.

En effet, puisque les produits SP.SP' et SQ.SQ' sont égaux, on a

SP SO SP - SO OP SP — OP SO SQ' ~ SP' “ SO' - SP' ~ O'P' SQ' - O'P' ~ SO ’

d’où l’on voit que les distances du point S aux centres des cercles 0 et 0' sont proportionnelles aux rayons OP et O'P'; donc, dans la figure que nous considérons, le point S est le centre de similitude directe des circonférences 0 et 0' ( voir Note 33, théor. Il, remarque II, et Note 34, Variations, etc. ). Si le point S était donné dans l’intérieur du cercle 0, SO OP

on aurait encore gg-, = et S serait le centre de similitude inverse des deux circonférences 0 et 0'.

Cela posé, si l’on mène uno droite quelconque SA qui coupe les circonférences 0, 0' aux points A, A', et que l’on tire les cordes AP, A'P', on forme un quadrilatère inscriplible APP'A' ( voir Note 33, théor. Il, remarque VI ) ; donc on a

SA.S.V= SP.SP' = m\

3g6 rotes sur le livre iii. — rote 30.

En désignant par B ot B' les deux autres points où la droite SA coupe les circonférences O et O', on aurait de même