SB. SB' = SQ.SQ

Remarque I. — Si l'on portail sur te prolongement de PS, au delà du point S, des longueurs SP*, SQ" respectivement égales à SP', SO', et qu’on décrivit sur P'y’, comme diamètre, une circonférence O”, celte cii conférence serait une figure inverse de la circonférence O par rapport à la même origine S et suivant la puissance — /«’.

Remarque II. — Pour obtenir les points P' et Q', on peut élever du point S sur SP une perpendiculaire SM égale à /«, joindre les points P et Q au point M, et élever du point M sur PM et sur QM des perpendiculaires qui rencontreraient SP aux points P* et Q*; on connaîtrait ainsi les droites SP*, SQ* respectivement égales aux droites SP', SO’, et par suite les points P' et Q'.

Remarque III. — Deux circonférences quelconques sont deux figures inverses l’une de l'autre, en prenant |>our origine l'un ou l’autre de leurs centres de similitude. Par exemple, dans la figure ri -dessus, les circonférences O et O' sont deux figures inverses et, selon qu’on prend pour origine le centre S de similitude directe ou le centre S' de similitude inverse, la puissance est égale à + SP. SP' ou à — S'P.S'Q'.

Observation . — Dans ce qui précède, on a supposé l'origine S située à l 'extérieur ou à l’intérieur de 1a circonférence O. Si le point S était sur cette circonférence, elle aurait pour figure inverse une ligne droite.

REMARQUES SUR LE TliCORÈME DE PTT1Ï AGORE.

Remarque I. — Lorsqu'on démontre le théorème de Pythagore par la méthode d’Euclide (239), la figure que l'on considère jouit des propriétés suivantes :

l° Les trois droites AM, FC, BK se coupent en un même //oint. Prolongeons MA d’une longueur AL égale à BË, et menons les droites LB, LC qui rencontrent les droites CF, BK aux points P et Q; le quadrilatère LBEA sera un parallélogramme, et, par conséquent, BL sera parallèle à AE.

Maintenant, dans les triangles ART, BRF les angles en R sont égaux comme opposés au sommet, et les angles RAT, BFC sont aussi égaux à cause de l égalité des triangles ABE, FBC (239 ) ; donc l’angle ATR est égal à l'angle droit FBU, et il s'ensuit que la droite 1JB parallèle à AE est perpendiculaire à CP. On verrait de même que la droite LC est perpendiculaire à BQ.

Ain^i LM, CP, 11Q sont les trois hauteurs du triangle LBC; donc ces droites se coupent en un même point (H9).

Autre démonstration fondée sur la théorie des transrerudes. — Les triangles. semblables ARC, BRF donnent

A R AC RB " BF;

d'ailleurs, dans le triangle rectangle ABC, on a

BM AB1

MC~ÂC'’

et enfin les triangles semblables CSK, ASB donnent aussi