AS BA
d’où AS =
B A xHK BH
Or, les droites GF, CA, CG sont respectivement égales aux droites BA, HK, Bll; donc AR = AS.
3“ Les droites FG et K 11 prolongées se rencontrent au point L. Car les angles GAL, ABC sont égaux comme étant chacun le complément de l’angle BAM, et, si l’on joint le point G au point L, les triangles GAL, ABC seront égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; donc l’angle AGL est droit, et il en résulte que le point L est situé sur le prolongement de FG. On verrait pareillement qu’il est situé sur le prolongement de KH.
Remorque II. — Euclide démontre de cette manière la réciproque du théorème de Pythagore :
c Soit le triangle ABC, et supposons qu’on
^ ‘ ait
. \ (1) BC* ^Ab' + Âc’;
D k * je dis que l’angle A est droit.
Élevons AD perpendiculaire à AC, prenons AD = AB et menons la droite CD. Le triangle rectangle ADC donnera
DCJ= ÂdVÂc’;
et, si l’on compare ccttc égalité à l’égalité (1), on conclut que BC = LC.
3g8 NOTES SUR LE LIVRE 11!. — NOTE 38.
Ainsi, les deux triangles ABC, ADC sont légaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun ; donc l’angle CAB est égal à l'angle droit CAD.
Remarque UT. — Si l’on construit trois polygones semblables ayant pour côtés homologues les côtés d'un triangle rectangle ABC, le polygone P construit sur V hypoténuse sera équivalent à la somme des deux autres
P' et P'.
Car on aura (215)
Ajoutant ces égalités membre à membre, il vient P' 4- P* ÂB’ + ÏC
1 BC
or, BC = AB 4- AC ; donc on a aussi
Remarque If. — Soit le triangle ABC rectangle en A, et abaissons sur a BC >a perpendiculaire AD. On sait qu'on a (2 58),
BC'
AB
BC
BD'
Réciproquement, si d'un point D pris sur une droite BC, entre ses extrémités B et C, on élève sur BC une perpendiculaire DA telle qu'on ait
BC.’
ab'
BC
~ BD’
le triangle ABC sera rectangle en A.
Car de l’égalitée donnée 1 on tire AB = BC x BD; donc l’angle B\C est droit ( voir la Note 30).
Remarque V.
te/
la base BC.
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a (238) ÂB BD
et il est clair que cette égalité a lieu aussi dans tout triangle isocèle ABC, quel que soit l’angle A opposé à
NOTES SUR LE LIVRE III. — NOTE 38. 3ç)g
Réciproquement, xi il' un /joint D pris sur une ilroite BC, entre ses extrémités D et C, on élève sur BC une /ler/jetnlirulairc DA telle i/u’on ait
AB1 BD
le triangle ABC sera rectangle en A ou il sera isocèle.
En effet, désignons les côtés BC, AC, AB par a, b , c, la hauteur AD par h et les segments BD, DC par m, n. En vertu de l'hypothèse, on a les trois égalités
r* m 1?~ ht' c1 = A* -f- nè, b1 = A» -+■ «*.
Remplaçant dans la première c 1 et A’ par leurs valeurs, il vient le 4- ni1 m
A* '4- n ' ~ Tt ’
d’où l’on déduit successivement
h1 n -f- nèn = lèm 4- mn’, b1 {n — ni) — nin ( n — m) = o,
(A* — mn ) (n — ni) = o.
Or, cette dernière égalité, dont le premier membre est un produit de deux facteurs et dont le second membre est nul, ne peut avoir lieu quo dans deux cas : i° lorsqu’on a A* = mn, 2° lorsqu'on a n — m.
Mais si 1 on a A* = mn, la hauteur AD est moyenne proportionnelle entre les deux segments BD, DC; donc l’angle BÂC est droit (voir la Note 36), et, si l’on a n = m, on voit que lo triangle ABC est isocèle.
En supposant qu'on eut à la fois h1 — mn et n = m, il s’ensuivrait que le triangle ABC serait rectangle et en même temps isocèle.
Donc la proposition est démontrée.
Remarque VI. - On a démontré le théorème de Pythagore de bien des manières; mais, parmi les démonstrations qu’on a données de ce théorème, nous avons préféré celles qui se trouvent dans le texte (238 et 239), à cause des corollaires importants qui s’en déduisent. A ces deux démonstrations nous joindrons la suivante.
Soit le triangle ABC rectangle en A, et construisons sur l'hypoténuse BC le carré BCDE ; puis menons DG parallèle à AB et EH parallèle à AC. Le carré BCDE sera ainsi décompose en quatre triangles BCA, CDF, DEG, EB11 égaux entre eux, et en un carré AFGH dent le côté AH sera la différence des côtés AB et AC, puisque BH = AC.
Donc, en désignant l'hypoténuse BC par a et les côtés AC, AB par b , c, on aura (186, 189 et 210)
a* = - bc x 4 4- (c — b)* ou a1 — c' 4- A1.
4oo
