CALCUL DB DIVERS ÉLÉMENTS D’UN TRIANGLE AU MOYEN DE SES TROIS CÔTÉS
Scient a, b, c les côtés d’un triangle, respectivement opposas au* angles A, B, C; nous allons calculer en fonction de ces côtés la projection de l'un dos côtés du triangle sur un autre, les hauteurs, la surface, les médianes, etc.
Calcul de la projection du côté b sur a.
1“ Supposons l'angle Caigu, on aura (24f)
tJ =■ «’ + b* — a a X DC,
d’où
DÇg^-y.-<.
la
a“ Si l’angle C était obtus, on aurait (2iK) c 1 = n1 lé + iu x DC;
d’eù
Calcul de la hauteur h.
i* Supposons l'angle C aigu, on aura (2i0)
ta I O C
JP' il, J
/<* = ô‘- UC ,
4 a'b1 — («’ -4- lé — c5)1
~ Jï? ’
(lab + a’ + b* — c')(iab — a,—b,-^-c,)
|tH-// + r)(a + i-r)(r + n-i|(f «+/,)
donc
h - ~ ^{‘> + t>-\-c)[a-irb — r)jc + o — b) [< 6 — a).
NOTES SUR LE LIVRE III. — NOTE 3g. tfot
Maintenant, si l’on représente le périmètre du triangle par a p, on a n + c = tp,
et, en retranchant surcessivement ta, tb, a c des deux membres, il vient
4 + r — a — tp — ta — t[p — a), a-hc — b — t(p — b), a -+- b — c — t(p — c).
Donc on aura la formule
A = jj y/p\p — u)(p — b H/-' — '’)-
a° Si l’angle C était obtus, on arriverait au mèmè résultat.
En désignant par A', A' les hauteurs abaissées sur les côtés AC, AB, on aurait pareillement
Calcul (le la surface S.
On a (189)
s = - X /i = 7 y/(« -I- b + c) (fl b — r)(fl + c— A)(A-4-c — a), 2 4 . '
OU
S = vV (/^ — ") [p — b) ! P — c).
Donc, /’«/« rf’iwi triangle est égale à la racine carrée ilu pnnluit du demi-périmètre par les trois restes qu’on obtient en retranchant successivement du demi-périmètre chacun des trois côtés.
On a (247)
Calcul de la médiane ni.
cJ+ A’ = a m’-t ,
multipliant les deux membres par 2, il vient 20*+ 2 A1 = 4,H>+ n1,
d’où
tb’ + te1 — a’
4oa NOTES SUR I.E LIVRE III. — NOTE 3l).
pt. par conséquent,
ni = p y/aô' 4- ac3 — a1.
De même, si l'on représente par ni' et ni' les médianes relatives aux côtés AC et AB, on aura
ni' = j i c‘ — h
ni’ = i \lï/l* + xü‘ — c1.
Calcul îles segments BD, DC déterminés par ta bissectrice AD île l’angle intérieur BAC.
On a (219)
B (al 0 C
d’où l'on tire et, par suite, on
