II
BD r DC ~b'
et, si à chaque numérateur on ajoute leur, il vient
DC ~ b~~
aura
DC
nb
__ ne BD = T *
son dénomina-
Reiniinpic. — L'égalité (i) donne
BD PC BD-t-DC n e ~ b - c ri- b ~ e b'
et de là on peut tirer les valeurs de BD et de DC.
Calcul tics segments BD, DC déterminés / mr la bissectrice AD rte l’angle cxtirieu CA J.
On a (249)
BD r
DC ~ b'
et, si de chaque numéral ur on retram ho son dénominateur, il vient
d'où l’on tire
et, par suite, on aura
DC
e — li
DC
BD
ne
NOTES SIR LE LIVRE 111. — NOTE 3g. 4°3
Remarque. — L'égalité (i) donne
BT) DC. BD — DC n c b c — b c — é* et de là on peut tirer les valeurs de BD et de DC.
Calcul de Ut bissectrice p de l'anulc intérieur BAC.
On a (250)
ré = BD x DC 4- p\
a d’où
g S- cb - n'rb = c*f(f 4-^)*— g’1 r (r4-é)’ (r-t-é)'
Représentant le périmètre du triangle par ip, il vient
cj ieb/tip — n) f (r4-é)J ’
et, par suite,
6 = ~-b i/cbp (p — a).
En désignant par p', p’ les bissectrices des angles B et C, on a p' = y/ucp [t> - b ),
Calcul de la bissectrice y de l’angle extérieur CAx. On a (250)
ré = BD x DC — y%
d'où
«’ ré
cb - réfn»- (c- él»]
\ ré ( « 4- c — b) (a — c 4- é )
B i«Tc -ni - *)*
Représentant le périmètre du triangle par ip, il vient
et, par suite,
, jcbjp — b) (p - c |
7 = ~b v'cb ( ï> -b)[p-T) .
En désignant par y’, y" les bissectrices des angles extérieurs adjacents aux angles B et C, on a
7* = — Aé (/> - a ) [j, — b).
aG.
4o4 NOTES SUR LE LIVRE III. NOTE 4°-
Calcul du rayon R du cercle circonscrit,
On a (251 )
abc = 4 RS,
d’où
abc
ou bien
abc
~ 4 \/V(p — “HP ~ G* — Ô
Calcul du rayon r du cercle inscrit, et des rayons /•’, r', r” des cercles ex-inscrits.
i° En désignant la surface du triangle par S et son périmètre par ip,
K on a (252)
S - [a 4- b 4- c) - = pr\
d'où
1° Soit O’ le centre du cercle ex-inscrit langent au côté BC, et désignons son rayon par r on aura
S = O' AC 4- O' AB — O'BC r<
d’où
S jp {p — b) (p — c)
On trouverait de même pour les rayons r", r " des cercles ex-inscrits, tangents aux côtés AC, AB,
