CENTRE RADICAL. — DEUX PROBLEMES SUR LES CONTACTS

Recherche de deux lieux géométriques.

Si du sommet A d’un triangle ABC on mène la médiane AD, on a (247) Ab’4-Ac’ = iAD 4- i BD ;

or, en supposant que les points B et C soient fixes ot que le sommet A

se meuve de manière que la somme AB 4- AC. reste constante, on von que la médiane AD ne changerait pas de valeur. Donc, le lieu îles points , tels que la somme ries carrés cle leurs distances à deux points fixes B et C soit constante, est une circonférence qui a pour centre le milieu de BC.

De même, en supposant que les points B et C soient fixes et que le

sommet A se meuve de maniéré que la différence AB — AC reste constante, on voit (248) que la projection DE do la médiane AD sur la droite BC ne change pas de valeur. Donc, te lieu des points tels, que la dijfércnce des carrés de leurs distances à deux / /oints fixes B et C soit constante, est une droite /rérpendiculaire à BC.

Remarque. — Après avoir montré combien ces deux lieux géométriques découlent naturellement des relations établies aux n°*2l7 et 248, nous croyons utile d’en faire la recherche à priori.

Problème I.

Trouver le lieu des //oints tels, <pte ta somme des carrés de leurs distances à deux points fixes A et B soit égale à un carré donné né.

donc

Soit M un point du lieu; on aura MA* -4- MB ’ = né.

Mais, si l’on mène la médiane MC du triangle MAB, on a aussi (247)

Ma’ 4- MB* = aMC’-f-aAC’;

d’où l’on tire

a MC 4- a AC = /»»’,

Ainsi la valeur de MC est constante; donc tout point du lieu cherché est situé sur la circonférence qui a pour centre le milieu de AB, et

pour rayon CM = » /— — ÀC . D’ailleurs, on verrait facilement que

pour tout point M de la circonférence CM, on a MA 4r MB = né. Donc cotte circonférence est le lieu cherché.

Remarque 1. — Pour construire lo rayon CM. on cherche d’abord un

fjjl - 1 ■ - 3 — 2

carré n’ égal à — (243); alors on doit avoir MC = ré — AC , et la

question est ramenée à trouver le côté d’un carré équivalent à la diffé-

rence des deux carrés connus n’ et AC (242).

On peut disposer les constructions de la manière suivante :

Prenons sur AB/ la droite AD égale à m , sur AD comme diamètre décrivons une demi-circonférence, du centre O menons le rayon OE perpen-

4o6 NOTES SUR LE LIVRE III. — NOTE 4°-

diculaire à AD et enfin joignons AE; on aura (238)

ae’

Maintenant, si l’on élève CF perpendiculaire à AB, et que du point A comme centre, avec le rayon AE, on décrive un arc qui coupe AF au point F, la droite CF sera le rayon cherché. Car on a