CF = AF - AC = AE - AC = — - AC
Si donc du point C comme centre, avec CF pour rayon, on décrit uno circonférence, elle sera le lieu demandé.
Remarque II. — Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit
qu'on ait — > Ac’ ou ml > a AC.’ ; donc le côté m doit être plus grand a
que la diagonale du carré construit sur AC (254).
Si l’on avait m J = aAC , l égalité (i) donnerait MC = o et le lieu so réduirait au point C milieu de AB.
Lorsqu'on a ni * <aAC , la valeur do MC devient imaginaire et le problème est impossible. 11 est d’ailleurs facile de le voir immédiatement à l’inspection de la figure.
Remarque III. — Si le côté m du carré donné était égal à AB, on devrait avoir Ma’-i- MB = AB ; donc (246) le triangle MAB devrait être rectangle en M, et par conséquent lo lieu cherché serait la circonférence décrite sur AB comme diamètre.
Du reste, cette conséquence peut aussi se déduire de l'égalité (i). Car, en y faisant m = AB, on a
iüt;» __ AB* ÀB AB" AB*
Problème II.
Trouver le lieu des points tels, que la différence des carres de leurs distances à deux points fixes A et B soit égale à un carré donné «/’. (On suppose que la distance de chaque point du lieu au point A est plus grande que sa distance au point B. )
Soit M un point du lieu; on aura MA’ - MB* = m\
Mais, si l’on mène la médiane MC du triangle MAB et qu’on abaisse MD perpendiculaire à AB, on a aussi (2i8)
MA1 — MB1 = a AB x CD;
et ’B b
donc
d’où l’on lire
NOTES SUR LE LIVRE lll. — NOTE 4°*
a AB x CD = ni7-,
Ainsi la valenr de CD est ronstante; donc tout point du lieu cherché est sur la droite DM perpendiculaire à AB et menée à une distance du
• nti
point C égale à ^jj- D'ailleurs, pour tout point M de la droite indéfinie DM, on aurait MA —MB = ni7. Donc cetto droite est le lieu cherché.
Remarque I. — Pour construire la distance CD, il faut chercher une troisième proportionnelle aux deux droites a AB et m, ce qu’on peut faire de cette manière :
Prenons sur CB^- la longueur CE égale à AB, et du point E comme centre, avec EC pour rayon, décrivons une demi-circonférence CGF ; du point C comme centre, avec m pour rayon, décrivons un arc qui coupe la demi-circonférence au point G, de ce point abaissons GD perpendiculaire à xjr, et CD est la distance cherchée. Car on a (230)
CF x CD = m7 ou
jAB xCD = m7.
Le point D étant connu, on élèvera sur AB une perpendiculaire indéfinie qui sera le lieu demandé.
Cette construction suppose qu’on ait a AB > m. Si l'on avait aAB= m, la distance CD serait aussi égale à m, et le lieu cherché serait la perpendiculaire élevée sur AB au point F. Si l’on avait aAB < m, on ferait un triangle rectangle ayant a AB ou CF pour côté de l’angle droit, et pour hypoténuse la droite CG égale à ut, puis du point G on élèverait sur CG une perpendiculaire qu’on prolongerait jusqu’à la rencontre de A/, en H par exemple, et la droite CH serait la distance cherchée; car le triangle rectangle CGH donnerait (230)
CF x CH = CG* = m7
ou
a AB x CI1 m ’.
Remarque JT. — Si le côté du carré donné était égal à AB, on devrait
avoir MA — MB = AB ; donc (2tfi) le triangle MAB devrait être rectangle en B, et, par conséquent, le lieu cherché serait la perpendiculaire élevée sur AB à son extrémité B. Du reste, cette conséquence peut aussi se déduire de l’égalité (1) ; car, en y remplaçant m par AB, on a
AB AB
