MO* — R3= MÔ"'* — R

d’où l’on tire, en supposant R > R’,

MÔ!-Mo’= R’-R'1.

Donc le lieu cherché est celui des points tels, que la différence des carrés de leurs distances aux deux points 0 et 0' soit égale à la différence des carrés des rayons R et R',

ou égale à un carré connu iw* (212). Par conséquent, ce lieu est une droite MP perpendiculaire à 00', plus éloignée du centre 0 que du centre 0', et, en désignant par -r sa distance au milieu de 00’, on aura

La distance y de la droite MP au centre 0 du plus grand des deux cercles 0, 0' serait donnée par la formule

. , 00' F’— R'1 Ôo’ + R’-R'*

(a) '=-r + -^r-== — ioo1 —

Définition. — On appelle axe radical de deux cercles 0, 0' la droite MP dont tous les points sont d’égale puissance par rapport à chacun de ces cercles.

De ce théorème on peut tirer les conséquences suivantes :

1° Si deux cercles se coupent, leur axe radical est leur corde commune indéfiniment prolongée. Car chaque point d’intersection des deux cercles a une puissance nulle relativement à chacun de ces cercles.

a" Deux cercles tangents, soit extérieurement, soit intérieurement, ont pour axe radical leur tangente commune.

3° Lorsque deux cercles n'ont aucun point commun, leur axe radical ne les coupe ni l'un ni l’autre.

De plus, si les deux cercles sont extérieurs l’un à l’autre, leur axe radical />asse entre ces deux cercles. Car il y a évidemment sur la portion de la ligne des centres, comprise entre les deux cercles, un point d’ég de puissance par rapport à ces cercles.

4° Lorsque deux cercles ne sont pas tangents, leur axe radical MP est moins éloigné du plus grand cercle 0 que du plus petit 0'. Car on a

Pü’ — R’ = PÔ'’ — R'1.

et, par suite,

(PO + R ) ( PO - R ) = (PO' + R') (PO'- R') ou

(P0+R)CP= (PO'-t-R') PD;

or, en supposant R > R', on a vu que la distance PO était plus grande que la distance PO' ; donc, par compensation, on doit avoir CP < PD.

Du reste, cette proposition est évidente dans le cas où les deux cercles sont intérieurs l’un à l’autre.

5° L’axe radical de deux cercles égaux passe par le milieu de ta droite qui joint les deux centres, et l’axe radical de deux cercles concentriques est à l’infini ou cesse d’exister. Ces deux propositions résultent de la formule ( ■ ) ou delà formule (a).

6° Si R'= o ou si le cercle 0' se réduit à un point, on a