M0’-MÔ‘J= R

donc l’are radical du cercle 0 et du point 0' est le lieu des points tels, que la différence des carrés de leurs distances aux deux points 0 et 0' soit égale au carré R1.

4lO NOTES SIR LE LIVRE III. — NOTE 4°-

Et, si l’on a à la fois R = o et R'= o, l’aie railirat (les tlcu.r points 0 et 0' est ta perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite 00'.

7° Si deux cercles sont extérieurs ou intérieurs l’un à l’autre ou s ils sont tangents, soit extérieurement, soit intérieurement, leur axe radical est le lieu des points d’où l’on peut mener à ces deux cercles des tangentes égales. Car le carré do chacuno (les tangentes MA, MB menées aux deux cercles d’un point quelconque M de l’axe radical est la puissance de ce point par rapport à ces cercles.

Lorsque deux cercles se coupent, le lieu des points d'où l’on peut mener à ces cercles des tangentes égales se réduit aux prolongements de leur corde commune.

8° Si, d’un point M de l’axe radical de deux cercles 0, 0', on mène à ces cercles deux tangentes MA, MB, et si, de ce jmint comme centre, avec l’une de ces tangentes pour rayon, on décrit un cercle, ce cercle coupera les deux premiers orthogonalement , c'est-à-dire à angles droits (143).

Et réciproquement, le centre de tout cercle M qui en coupe deux autres 0, 0' orthogonalement est situé sur l'axe radical de ces deux cercles. Car les carrés des rayons MA, MB sont les puissances du centre M de ce cercle par rapport a chacun des deux autres.

Ainsi, l’axe radical de deux cercles qui n'ont aucun /roint commun nu qui sont tangents est le lieu des centres de tous les cercles qui coupent les deux premiers orthogonalement.

Lorsque deux cercles se coupent, te lieu des centres (les cercles qui coupent les deux premiers orthogonalement se réduit aux prolongements de la corde commune à res deux cercles.

9° Si deux cercles M, M' en coupent deux autres 0, 0' orthogonalement, les cercles O, O' coupent aussi orihogonalement les deux premiers. Donc, tous tes cercles M, M', M", ..., qui coupent orthogonalement deux cercles donnés 0, 0', considérés (leux à deux, ont pour axe radical commun ta ligne des centres 00'.

Lorsque les deux cercles 0, 0' n’ont aucun point commun, l’un des cercles M, M', M',... a son centre sur 00' et coupe celte droite en deux points qui sont communs à tous les cercles M, M', M',. . . .

Lorsque les deux cercles 0, 0’ sont tangents, en P par exemple, tous les cercles M, M', M’,... sont tangents à la droite 00' au point P.

Enfin, dans le cas où les deux cercles 0, O' se coupent, tous les cercles M, M', M', . . . sont extérieurs à la droite 00'.

Les axes radicaux de trois cercles 0, 0', 0“ considérés deux à deux concourent en un même point.

Car le point d’intersection de l’axe radical des cercles 0 et O' avec celui des cercles 0’ et 0’ a la mémo puissance par rapport à chacun des trois cercles 0, 0', 0*; donc ce point appartient aussi à l’axe radical dos cercles 0 et 0".

Définition. — On appelle centre radical de trois cercles le point commun à leurs trois axes radicaux, ou le point d’égale puissance par rapport à ces cercles.

NOTES SUR LE LITRE III. — NOTE t\0. 411

Remarque I. — Si les centres des trois cercles étaient en ligne droite, les axes radicaux de ces cercles seraient parallèles et leur centre radical serait à l’infini.

Toutefois, lorsque les centres do trois cercles sont en ligne droite, il peut arriver que ces cercles aient le même axe radical; alors tout point de cet axe est un centre radical des trois cercles.

Remarque II. — Solon que le centre radical M de trois cercles, ü, O', O", est extérieur ou intérieur à l’un des cercles, O par exemple, la puir-sanco du point M par rapport à chacun des trois cercles est positive ou négative, et, par conséquent, ce point est aussi extérieur ou intérieur aux cercles O’, O*.

Lorsque- le centre radical est extérieur aux trois cercles, on peut de ce point mener à ces cercles des tangentes égales, et, de ce point comme centre, on peut décrire un cercle qui coupe les trois autres orthogonalement.

Si le centre radical était sur l’une des trois circonférences, il serait aussi sur les deux autres.

Problème.

Construire l’axe radical de deux cercles O et O' qui n'ont aucun point commun.

Pour cela on décrit un troisième cercle O" qui coupe les deux cercles donnés; alors la corde commune aux cercles O, O" et la corde commune aux cercles 0', 0* se rencontrent au centre radical M des trois cercles 0, O1, 0*, et, en abaissant de ce point une perpendiculaire sur 00', cette perpendiculaire sera l’axe radical cherché.

Remarque I. — Si l’un des cercles, 0' par exemple, se réduit à un point, on décrit une circonférence 0" qui coupe le cercle 0 et qui passe par le point 0'; on mène la corde commune aux cercles 0, 0*, ainsi que la tangente au cercle 0* par le point 0', et res deux droites se rencontrent en un même point M; enfin, de ce point, on abaisse sur 00' une perpendiculaire qui est l’axe radical du cercle 0 et du point 0'.

Remarque II. — Si les deux cercles donnés sont extérieurs l’un à l’autre, leur axe radical passe par les milieux des portions de leurs tangentes communes, comprises entre deux points de ci ntact, et de là résulte un autre moyen de construire cet axe.

Deux problèmes sur les contacts.

Problème I.

Décrire une circonférence passant par deux points donnés A, B, et tangente à une droite donnée xy.

Supposons le problème résolu et soit ABC la circonférence demandée qui louche xr au point C et dont le centre est 0. Ce centre doit se trouver sur la perpendiculaire O'O élevée sur le milieu de AB et sur la droite CO perpendiculaire à xr; donc la qucidion se réduit à déterminer le point C. Or, si l’on prolonge AB jusqu’à la rencontre de xy en D, on voit que la tangente DC est moyenne proportionnelle entre les droites connues DA, DB (227).

Ainsi, pour résoudre le problème, on cherchera cette moyenne proportionnelle (231 ) et on la portera sur xyk partir du point D, etc.

Remarque. — Si l’on porte la distance DCsurxr, à gauche du point D, on obtient une seconde circonférence O' qui satisfait encore au problème.

Lorsque la droite AB est parallèle à xy , le point D cesse d’exister. Dans ce cas le problème n’admet plus qu’une solution, et la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB rencontre xy au point C qui est le point de contact cherché. De même, il n’y a plus qu’une solution lorsque l’un des points donnés A, B se trouve sur xy.

Enfin, il est évident que le problème serait impossible si les points A et B n’étaient pas situés d’un même côté de xy.

Problème II.

Décrire une circonférence passant par deux points donnes A, B, et tangente à une circonférence donnée O.

Supposons le problème résolu et soit ABC la circonférence demandée qui touche la circonférence O au point C et dont le centre est O’. Ce centre doit se trouver sur la perpendiculaire O'O' élevée sur le milieu de AB et sur la ligne des centres OCO'; donc la question revient h déterminer le point C. Or, si par ce {•oint on mène la tangente commune aux circonférences O, O', cette tangente rencontrera la droite AB en un point D, et l’on voit que, le point D étant connu, le point C le serait pareillement : il s'agit donc de déterminer le point D.

Pour cela, menons par ce point et par un point quelconque E de la circonférence O une sécante DEF qui coupera celle circonférence en un second point F. On aura (227)

DE x DF = DC ' = DA x DB ;

et de là il résulte que les quatre points A, B, E, F sont sur une même circonférence ( voir Note 3ü); donc, réciproquement, si par les deux points A, B et par un point quelconque E de la circonférence O on décrit une circonférence ABE, cette circonférence coupera la circonférence O en un point F, et la corde EF devra rencontrer la droite AB au point D.

Ainsi, pour résoudre le problème, on décrira une circonférence quelconque ABE qui coupe la circonférence 0 en deux points E et F ; puis on tracera la corde EF qui rencontrera la droite AB au point D, et de ce point on mènera la tangente DC à la circonférence O, etc.

Remarque 1. — Comme on peut mener du point D une autre tangente DC’ au cercle O, on a une seconde circonférence O” qui satisfait encore au problème.

Si la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB passait par le centre O de la circonférence dunnée, les trois droites AB, CD, EF seraient paral-

lèles et le point D n’existerait plus. Dans ce cas, la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB couperait la circonférence O en deux points C, C’qui seraient les points do contact cherchés.

Lorsque l'un des points donnés A, B se trouve sur la circonférence O, le problèmo n’admet qu’une solution.

Enfin, il est évident que le problème serait impossible si les points A et B étaient, l'un extérieur, et l’autre intérieur à la circonférence donnée.

Remarque II. — Dans l'analyse de ce problème, après avoir mené la tangente commune aux circonférences O et O’ qui rencontre la droite AJB au point D, on aurait pu remarquer que ce point est le céntre radical des deux circonférences O, O' et de toute autre circonférence passant par les points A et B. Alors, pour trouver le point D, on aurait décrit une circonférence quelconque pas:-ant par les points A et B et coupant la circonférence O aux points E et F, et la corde EF aurait rencontré la droite AB au point D.

De cette manière on arriverait un peu plus vite à conclure la construction indiquée ci-dessus.