Tous les angles droits sont égaux

Soient une droite CD perpendiculaire à AB et une droite GH perpendiculaire à EF ; jî dis, par exemple, que l'angle

droit DCB est égal à l’angle droit |d 1B HGF.

Pour le démontrer, je porte la figure EFGI1 sur la figure ABCD,

^ ^ — u jr c Y de manière que le point G tombe

sur le poinl C et que EF prenne la direction de AB; alors, comme du point Con ne peut élever qu’une perpendiculaire à AB, la droite GH coïncidera nécessairement avec CD; donc les deux angles DCB, HGF sont égaux.

Définitions. — Un angle plus petit qu’un angle droit s’appelle angle aigu, et tout angle plus grand qu’un angle droit est un angle obtus.

Deux angles sont complémentaires ou supplémentaires selon que leur somme est égale à un droit ou à deux droits. Lorsque deux angles sont complémentaires, on dit que l’un de ces angles est le complément de l’autre, et, s’ils sont supplémentaires, chacun des angles est le supplémeht de l'autre.

Théorème IV.

70. Lorsqu’une droite CD en rencontre une autre AB, elle forme avec celle-ci deux angles adjacents ACD, DCB, dont la somme est égale à deux droits.

Car la droite CE perpendiculaire sur AB !E décompose l’angle ACD en deux parties : la

! /D première, ACE, est un anple droit, et la sc-

conde, ECI), ajoutée à l’angle DCB, forme

4 c B encore un angle droit ECB; donc les deux angles ACD, DCB, valent ensemble deux droits ou sont supplémentaires.

Corollaire I. — Si d’un point C, pris sur une droite AB, on mine d'un même côté de AB autant de droites qu'on voudra.

3o GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE I.

CD, CE, CF, In somme des angles ainsi formés est égale à deux droits.

Car on a l’égalilé

ÀCD -1- DCB = a droits,

et si on remplace ACD par la somme de ses parties, il vient

ACF -+- FCE -|- ECD DCB = i droits.

Corollaire II. — Si d’un point 0 on mène autant de droites qu’on voudra, OA, OB, OC, OD. OE, la somme des angles AOB, BOC, COD, DOE, EGA, formés autour du point O, est égale à quatre droits.

Car, si on prolonge AO, par exemple, la somme des angles formés d'un côté de Ar est égale à deux droits, et il en est de même de la somme des angles formés de l’autre côté de Ax.

Corollaire III. — Si un angle au centre AOB est droit , il intercepte un arc égal au quart de la circonférence.

Car, si on prolonge les rayons AO, BO, jusqu'à la rencontre de la circonférence aux points C et 1) , l’angle AOB étant „ droit, son adjacent BOC le sera pareille-

ment; donc AOB = BOC. De là il résulte que les quatre angles, formés autour du point O, sont égaux, cl par conséquent les quatre arcs AB, BC, CD, DA, sont aussi égaux (57). Donc l'arc AB est le quart de " la circonférence.

Réciproquement, tout angle au centre qui intercepterait un quart de la circonférence O serait égal à l’angle AOB (57); donc il serait droit.

Théorème V.

71. Si deux angles adjacents ABC, CBD, valent ensemble deux droits, leurs côtés extérieurs AB, BD, sont en ligne droite.

Car le prolongement de AB, au delà du v point B, doit faire avec BC un angle égal au supplément de ABC; donc ce prolongement se confondra avec BD.

PERPENDICULAIRES ET OBLIQUES

Perpendiculaire et obliques abaissées d'un même point sur une droite.

Problème I. •

72. D'un point A, pris hors d’une droite xy, abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Du point A comme centre, avec un rayon suffisamment grand, je décris un arc qui coupe xy aux points B et C; puis je détermine un point quelconque D également distant des points B, C, et je mène la droite AD qui est la perpendiculaire demandée.

Car les deux points A et D sont chacun à égale distance des extrémités de la droite BC ; donc AD est perpendiculaire sur BC ou sur xy.

Théorème I.

73. D’un point A, pris hors d’une droite xy, on ne peut abaisser qu’une perpendiculaire sur cette droite.

Pour le démontrer, j’abaisse AB perpendiculaire à xy, et du point A je mène une autre droite quelconque AC qui coupe xy au point D, et il s’agit de faire voir que AC est oblique à xy.

En effet, si on prolonge la perpendiculaire AB d’une longueur BE égale à AB et qu'on mène la droite DE, la droite xy, perpendiculaire sur le milieu de AE, sera la bissectrice de l’angle ADE. Ainsi l’angle BDA est égal à l’angle BDE : mais l’angle total BDC est plus grand que sa partie BDE; donc on a aussi BDC> BDA ; donc la droite xy est oblique à AC, et réciproquement AC est oblique à xy.

Remarque. — Puisque l’angle ADB est plus petit que son adjacent BDC, l’angle ADB est aigu. Donc, si d’un point, pris hors d’une droite xy, on abaisse sur cette droite une perpendiculaire et une oblique, l'oblique fait un angle aigu avec la partie de xy sur laquelle tombe le pied de la perpendiculaire.

TnÉORÈMK II.

74. Si d’un point, pris hors d’une droite, on abaisse sur cette droite une perpendiculaire et différentes obliques,

i° La perpendiculaire est plus courte que toute oblique ;

l'.ÉOMÊTRIE PI AXE. — LIVRE I.

a° Deux obliques, qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire, sont égales ;

3 ' De deux obliques, qui s’écartent inégalement du pied de la perpendiculaire, celle qui s’en écarte le plus est la plus grande.

i° Soil la droite xy, et supposons que du point A on abaisse sur celle droite la perpendiculaire AB et l'oblique AC; je dis qu’on aura AB < AC.

En effet, si on prolonge AB d’une longueur Bl), égale à AB, et qu'on mène la droite CI), xy sera perpendiculaire sur le milieu de AU, et par conséquent la distance AC = CD. D’ailleurs, la droite AD étant plus petite que la ligne brisée ACD, on a

AD < AC-t-CD;

donc la droite AB, moitié de A1), est moindre que AC, moitié de AC -+- CD.

2" Soient les obliques AC, AE, qui s’écartent également du pied delà perpendiculaire, c’est-à-dire deux obliques dont les pieds sont à égale distance du pied de la perpendiculaire ; je dis qu’elles sont égales.

Car, AB étant perpendiculaire sur le milieu de CE, la distance AC = AE.

3° Soit l’oblique AF qui s’écarte plus du pied de la perpendiculaire que l’oblique AC ; je dis qu’on aura AC < AF.

Car la droite FD est égale à FA ; d'ailleurs la ligne brisée ACU est plus petite que la ligne brisée AFI) (-29), et on a