SUR USE RÉCIPROQUE QUI M'EST PAS TOUJOURS VRAIE

Soient un triangle ABC et AD l une de ses médianes, on a { 247 )

ll) AB 4- AC = 2. AD -f- 2 BD .

Maintenant, supposons que l'angle C soit aigu et que le côté AC soit moindre que la médiane AD. Alors la circonférence qui serait décrite du point A comme centre, avec le rayon AC, couperait BC en un point, C’ par exemple, situé entre D et C, et, quoique AD ne fût pas une médiane du nouveau tiiangie ABC’, on aurait

ÂB’-t-ÂC'’ = a AD* 4- aBo'.

Donc, U du sommet A d'un triangle ABC on mène sur le côté opposé BC une droite AD et que l'on ait

AB 4- AC ~ a AD + a BD ,

on ne peut pas toujours conclure que AD suit une médiane de ce triangle.

Remarque I. — On arrive encore à cette conclusion, en supposant que l'angle C soit aigu et qu'on ait AC < AB.

En effet, si l'on joint le point D au point E milieu de AB, l'angle EDB

AC

égal à l'angle C (117) sera aigu, puis on aura ED = — > et, par suite,

ED < — ou ED < EB; donc la circonférence décrite du point E comme

centre, avec le rayon ED, coupera BC en un point F situé entre B et D. et, EF étant une médiane du triangle ABF, on aura (£47)

aEB* -t- a EF* = ÂF* 4- BF*,

d'où

4EB -F 4 EF = aAF -FaBF

ou bien

AB -F AC = aAF -Fa BF’ .

Ainsi, la droite AF menée du sommet A sur BC satisfait à cette dernière égalité, et cependant elle n’est pas une médiane du triangle ABC.

Remarque JJ. — Le point ü étant le milieu du côté BC, on a