BD ~ B'D

Donc on a à la fois A'C' = AC et B'D' = BD, ou A'C' > AC et B' D'> BD, ou A'C' < AC et B'D' < BD. Or, on no peut pas avoir A'C' > AC et B'D'> BD, sans quoi (94) les angles du quadrilatère A'B'C'D' seraient respectivement plus grands que ceux du quadrilatère ABCD, ce qui est impossible; de même, on ne peut pas avoir A'C' < AC et B'D’ < BD. Donc A'C' = AC, et par conséquent les deux quadrilatères ABCD et A'B'C’D' sont égaux; donc le quadrilatère ABCD est inscriptible.

Heman/ue II. — Soit un quadrilatère quelconque ABCD, dont nous représenterons les côtés AB, BC, CD, DA par a, b, c, d, et supposons qu'il s'agisse de construire avec ces côtés un quadrilatère inscriplible ABCD'.

Pour cela, il suffit de déterminer la diagonale A'C', par exemple; or, en la désignant par x, on a

, [ne -\-bil) I ml 4- br\

ub -+- al

Maintenant, on peut trouver ( 231 ) six droites f, g, h, i, k, I, telles qu’on ait

fJ — ac, g1 = ht, h* = ad, i1 — bc, h2 = ab, I1 — cd.

puis (241 ) trois autres droites ni , », p, telles qu’on ait

Alors on a

d’où x

donc, pour avoir x, il suffit de chercher une quatrième proportionnelle aux trois droites p, m et ».

NOTE 4i.

sur l’emploi de l’algèbre pour résoudre des problèmes de

GÉOMÉTRIE. — SUR LA DIVISION d’üNE DROITE EN MOYENNE ET EXTRÊME raison.

Sur l'emploi de l’Algèbre pour résoudre des problèmes de Géométrie.

Résoudre un problème de Géométrie par l’Algèbre, c’est, en général, faire dépendre sa solution de la valeur d’une droite en fonction de droites connues.

4s6 ROTES SUR LH LITRE III. — ROTE 44*

Pour cola, on conçoit que les droites données et la droite inconnue aient été mesurées avec une unité quelconque, puis on représente ordinairement les mesures des droites données par des lettres telles que a , b , c, et l'inconnue par x, par exemple; alors il s’agit de trouver d'abord une équation qui lie toutes ces mesures entre elles et, s'il y lieu, la formule qui donne la valeur de x en fonction de a, b, c, . .. Ensuite on déduit de cette équation ou de cette formule les constructions qu’il faut faire avec les droites données pour obtenir la droite inconnue. Ainsi : i° Supposons qu’on arrive à une équation de la forme ax = bc, bc

ou à cette formule x = — ■ Cette équation ou cette formule peut être

remplacée par la proportion ^ = -, et l'on voit que xest une quatrième proportionnelle aux trois droites n, b, r (202, 220).

2° Soit la formule x = Onar-^Xji et, comme on peut

trouver une droite g égale à on aura x = donc on obtiendra .r

en cherchant une quatrième proportionnelle g aux trois droites d, n , b, puis une quatrième proportionnelle aux droites f, g, c.

3° Soit l’équation ax — b' ou la formule x = — • On en déduit o b

j = -;donc x est une troisième proportionnelle aux deux droites a, b (220),

4° Soit l'équation x1 = ab ou x est une moyenne proportion-

nelle entre net b( 231, 229).

5° Soit x1 = a2 + b1 ; x est le côté du carré équivalent à la somme des carrés donnés a1, b7, ou l’hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont a, b (231 ).

6° Soit x2 = a7 — b7\ x est le côté du carré équivalent à la différence • des carrés donnés a1, b1, ou le côté de l’angle droit du triangle rectangle dout l'hypoténuse est a et dont l'autre côté de l’angle droit est b (212).

7° Soit x* = ab ± cd. On cherchera un carré /’ équivalent au rectangle ab (231), puis un carré équivalent au rectangle cd, et l’on aura x’ ==/J±^-

8° Soit ax7 = bc 7 ou x1 = - c’, ou enfin — = x sera le côté du a c‘ a

carré dont le rapport au carré donné c’ est - (213).

9“ Soit ax — x3 = b7 ou x (n — x ) = b \ La somme de x et de a — x est n; donc il s’agit de construire un rectangle équivalent à un carré donné b 1 et dont la somme des dimensions soit égale à la droite a; et l’une quelconque des dimensions du rectangle cherché satisfera à l’équation x (a — x ) = b1 ( 2C2 ) .

io" Soit x1 + ax — b7. Cette équation peut se mettre sous la forme

et l’on voit qu’il s’agit de trouver un rcclanglo équivalent au carré b 7 et

NOTES SUR LE LIVRE III. — NOTE 44dont la différence des dimensions soit égale à la droite a. La plus petite dimension de ce rectangle sera la droite cherchée (203).

1 1“ Soit x* — ax = b' ou x (x — a) = b ’. En retranchant x — a dex, on trouve pour différence «; donc on cherchera encore un rectangle équivalent à b ’ et dont la différence des dimensions soit la droite a, et la plus grande dimension de ce rectangle sera la droite cherchée (203).

ia° Soit x* -f- nx = a'. De là on tire x1 — a' — ax = a (a — x) ou a jr

- = - i et l'on voit que x est le plus grand segment de la droite a divisée en moyenne et extrême raison (261).

Remarque J. — Si dans un problème il est question d'une surface telle qu’un rectangle, un carré, on remplace le rectangle ou le carré par leurs mesures, qui sont ab ou a’, en représentant les dimensions du rectangle par a, b, et le côté du carré par a.

Remarque 11. — Dans la résolution d’un problème de Géométrie par l'Algèbre, il n'est pas toujours facile de choisir tout d’abord la droite qu’il convient le mieux de prendre pour inconnue. Lorsqu’il en est ainsi, on peut représenter par x, y, z,..., les différentes droites inconnues qu’on est conduit à mettre en relation avec les droites connues, et, après avoir obtenu autant d’équations qu’on a considéré d'inconnues, on examine avec attention quelles sont celles de ces inconnues qui peuvent s'éliminer le plus facilement, et la dernière inconnue qui reste sert à résoudre le problème.

Remarque 111. — Quelquefois la résolution d'un problème exige qu’on trouve les valeurs de plusieurs inconnues. Dans ce cas, le problème, s’il est déterminé, doit donner lieu à autant d’équations qu'il y a d’inconnues; alors on résout le système de ces équations et l’on construit les formules obtenues.

Sur la division d’une droite en moyenne et extrême raison.

Le problème résolu au n" 261 n'est qu’un cas particulier du problème suivant, que nous allons résoudre par la méthode analytique.

Problème.

Etant donnés deux /joints A et B sur une droite indéfinie XY , de tel'miner sur cette droite un point tel, que sa distance nu point A soit moyenne pro/jortionncllc entre sa distance au /joint B et la droite donnée AB.

Comme on ne sait pas si le point cherché doit se trouver entre les points A et B, ou sur AX ou sur BY, il s’ensuit que le problème présente trois cas.

î” Supposons que le point cherché se trouve sur AB;

soit K ce point, et désignons AB par a et AE par x. On doit avoir

il x n .r x n — x a

d’où

x (<i -4- x) = iê\

donc la droite inconnuo x est le plus petit côté d’un rectangle équivalent au carré «’ et dont la différence des dimensions est a, et par conséquent on peut construire x en se fondant sur le n°2G3.

On élève sur AB, à son extrémité B, la perpendiculaire BO égale à la moitié de AB, et du point O comme centre, avec le rayon OB, on décrit une circonférence; on mène la droite AO qui coupe la circonférence aux points C, D, et la partie extérieure AC de la sécante AD est la droite cherchée. Si donc du point A comme centre, avec le rayon AC, on décrit une circonférence, elle coupera AB au point cherché; on retombe ainsi sur la construction indiquée au n° 264.

Supposons que le point cherché E' soit sur AX. En désignant encore la droite inconnue AE'parx, on doit avoir

d’où

alors x est le plus grand côté du rectangle équivalent au carre a1 et dont la différence des dimensions est a, et par conséquent la sécante AD est la valeur de x. Si donc du point A comme centre, avec le rayon AD, on décrit une circonférence, elle coupera AX au point cherché.

3° Supposons que le point cherché E' soit sur AY. En désignant toujours AE" par x, on déviait avoir

ce qui est évidemment impossible, puisque le premier rapport - est

moindre que i et que le second est plus grand que i .

Ainsi, le problème admet deux solutions, et les points E, E' sont les points demandés.

Reniarr/uc. — En supposant qu’un point M se meme sur XY à partir du point A dans le sens Ay, on peut reconnaître à priori qu'il y a entre A et B une position du point U et une seule, pour laquelle les rapports

TSÏ et MB 150111 e§aux’ et Q11 “ n y a Pas sur “7 de position du point M

satisfaisant à cette condition. De même, si le point M se meut à partir du point A, dans le sens AX, on verrait qu'il y a sur AX un point et un seul satisfaisant à cette même condition.

Le point E divise la droite AB en moyenne et extrême raison , et, par extension, on dit que le point E' divise aussi celte droite en moyenne et extrême raison. Le point E divise la droite AB en deux segments athii-

tifs AE, EB, t'I le |K>inl E' la divise en deux segments soustractifs AE', E'B.

Dans le texte ( 20“» ) , on a déterminé la valeur du plus grand segment additif AE en fonction de AB ou a; on trouverait facilement celle du plus petit segment EB et les valeurs des deux segments soustractifs AE' et E'B. Ainsi, l'on a

AE = fl

- — » 4-yS

i -+- y'5 AE = n .

E'B — fl

COUP d’oeil rétrospectif sur les trois premiers livres, but qu’on se propose dans le quatrième.

Dans le premier Livre on s'est ocsupé spécialement des problèmes graphiques les plus simples, qui sont indépendants et de la mesure des grandeurs géométriques et de la similitude des figures et des relations métriques. On a jeté ainsi les premières bases de la Géométrie graphique ou de construction.

Dans le second Livre, au contraire, il s’est agi de mesurer les droites, les angles et les surfaces polygonales, c’est-à-dire d’assigner à chacune de res grandeurs le nombre qui doit l’exprimer. Par là on a commencé la théorie importante de la mesure des grandeurs géométriques.

Ces deux Livres peuvent être regardés comme constiluant ensemble la parlio la plus élémentaire de la Géométrie, dont l'origine se perd au delà des temps historiques. C’est à cette sorte de Géométrie primitive que l’on doit probablement l’étymologie du mot Géométrie , qui signifie mesure de la terre.

A partir du troisième Livre on aborde les principes d’une Géométrie plus savante. En se fondant sur la similitude des triangles, on arrive à des relations métriques au moyen desquelles on peut : i° donner une grande extension à la Géométrie graphiquo; a° calculer différents éléments de certaines figures au moyen d'autres éléments connus; 3° créer des méthodes puissantes pour découvrir ou démontrer les propriétés de l’étendue. Celte partie do la Géométrie est susceptible des plus grands développements, et elle a été cultivée avec un immense succès par les géomètres modernes.

Cela posé, que resle-t-il à faire dans le quatrième Livre? Il reste à faire connaître les propriétés élémentaires des poljgnnrs réguliers et à déterminer la mesure de la circonférence et celle du cercle.

Les propriétés des polygones réguliers, intéressantes et utiles par elles-mêmes, auraient pu trouver leur place, dans les trois premiers Livres; mais nous n’avons pas hésité à les réunir toutes ensemble au commencement du quatrième, vu qu’elles servent de base à la rectification de la circonférence et à la quadrature du cercle.

En général, rectifier une ligne courbe, C’est trouver sa mesure par rapport à la droite priso pour unité ; et carrer uno surface, c’est déterminer sa mesure, en prenant pour unité le carré qui a pour côté l’unité de longueur.

Remarque. — En résumé, on peut reconnaître quel parti j'ai tiré du mode particulier de classification dont je parle dans la Préface, et qui

consiste à ranger d’abord les différents problèmes fondamentaux dans l’ordre de leurs dépendances, puis à intercaler entre ces problèmes les théorèmes nécessaires pour les démontrer. Ainsi, je m’en suis servi pour diviser la Géométrie plane en quatre Livres, pour diviser chaque Livre en chapitres, et chaque chapitre en paragraphes.

De plus, au moyeu de ce mode de classification, on satisfait à l'une des premières conditions que doit remplir tout ouvrage élémentaire, en allant du simple au composé, du facile au difficile; et l'on a aussi le grand avantage de se rapprocher, autant que possible, de X ordre historii/ue, c'est-àdire de l'exposition des connaissances dans l’ordre suivant lequel l'esprit humain les a acquises.

Au lieu de suivre celte marche, on a proposé maintes fois de diviser d’abord la Géométrie en trois grandes parties qui correspondraient aux trois genres d’étendue; alors on devrait épuiser l’étude des lignes avant de passer à celle des surfaces, et l'étude des surfaces avant de passer à celle des volumes. Mais ce mode de division, qui séduit au premier abord par sa simplicité, est loin de satisfaire aux conditions énoncées plus haut, et, à mon avis, il no doit pas être adopté dans les Éléments de Géométrie, lors même qu’il ait eu quelquefois l’assentiment de trèsbons esprits.