POLYGONES ÉTOILÉS

Calcul des côtés de certains polygones réguliers.

Nous avons vu comment on inscrit et comment on circonscrit certains polygones réguliers à un cercle donné, et, en désignant par R le rayon de ce cercle, par C„ C(, C,, C„ les côtés du carré, do l'hexagone régulier, du triangle équilatéral et du décagone régulier inscrits, nous avons trouvé (271 , 572, 273)

C, = Ri/i, C,= R, Ç, = R y/3, C„ = R— l+v/1-

Il s'agit dans cette Note de calculer les côtés d'autres polygones réguliers.

Problème 1.

Connaissant le rayon OC d’un cercle et le côté AB d’un polygone régulier inscrit, calculer le côté AC du polygone régulier inscrit d’un nombre double de côtés.

Soient OC = R, AB = a, AC = x. Si l’on mène le diamètre CD, la corde AD et le rayon OA, le triangle rectangle CAD donne (230)

ACJ = CD x CE ou

a‘ = iRxCE = aR (OC - OE)

= aR(R-OE).

43a NOTES SU* LE LITRE IV. — NOTE 4^

D'ailleurs, dans le triangle rectangle AEO, on a

OE = Voa’- aej = y/V-

donc

10 ^aR^-y/V-^),

d’où

* = y/2® (R ~ \ZR> - j) *

Applications , — i° Trouver le côté C, de l’octogone régulier inscrit, sachant que le côté du carré inscrite, est égal à R \fx En remplaçant a par R sfx dans la formule (i), on a

d’où

2° Trouver le côté C„ du dodécagone régulier inscrit, sachant que le côté de l'IieMgone régulier inscrit C, est égal à R. On aura

*■=»«(»- vA'-t)

d'où

Remarque. — Connaissant le rayon OC d'un cercle et une corde quelconque AB inscrite dans ce cercle, on peut calculer aussi au moyen de la formule (i) la corde AC qui sous- tend la moitié de l’arc AB.

Problème II.

Connaissant le rayon OB d'un cercle et le côté AB d'un polygone régulier inscrit, calculer le côté AC du polygone régulier inscrit d'un nombre sous-double de côtés.

Soient OB = R, AB = a, AC = x. Si l’on mène le diamètre BD et la cordo AD, les deux triangles semblables ABE, ABD (330) donnent

AE AB 2 a

ÂD = BD °U AD = TÏÏ’

mais AD = V BD — AB = — “*> donc

ar = sv/4R>-«*.

Application*. — i° Trouver lo côté G, du triangle équilatéral inscrit, sachant que le côté de l’hexagone régulier inscrit C, est égal à R.

En remplaçant a par R, il vient

x = C,= g*/4R’-R‘ = Rv'3.

Un arrive ainsi à une formulodéjà trouvée directement (272). i° Trouver le côté C, du pentagone régulier inscrit, sachant que lo

côté du décagone régulier inscrit C„ - R X

On aura

= Rx=H

.. I , /lO + l yfl t a\s

= Rxü V 4

R x - Vio — a v/5.

Remarque. — Si l’on fait la somme du carré du rayon et du carré du côté du décagone régulier inscrit, on a

et l’on voit que cette somme est égalo au carré du côté du pentagone régulier inscrit.

Donc, le côté du pentagone rt:gulicr inscrit est égal à l’hypoténuse du triangle rectangle qui aurait pour côtés de l’angle droit le rayon et le côté du décagone régulier inscrit (246).

Éléments . 2Ü

Problème III.

Calculer le côté i lu pentêdécagonc régulier inscrit eu fonction tlu rayon du cercle circonscrit .

Soient AB et AC les côtés de l’hexagone régulier et du décagone régulier inscrits; CB sera le côté du penlédécagone régulier inscrit (273); et menons le diamètre AD, ainsi que les cordes DB, DC.

lin désignant le rayon OA par R, le côté CB par or et en remarquant que BD est le côté du triangle équilatéral inscrit, on aura