ROTE
ABCB’A et une aire plus grande, ce qui est impossible, puisque ABCB’A est une figure maximum. Donc l’angle primitif ABC est droit, et, par conséquent, ABC est une demi-circonférence décrite sur AC comme diamètre.
On verrait de même que ADC est une demi-circonférence ; donc la figure maximum ABCDA est un cercle, et, par suite, le théorème est démontré.
Remarque. — Réciproquement, entre toutes les figures planes équivalentes, le eerele a te plus petit périmètre. Démonstration analogue a celle du théorème VI de la Note 4g-
Théorème II.
Un polygone formé avec des côtés donnés est maximum, lorsqu’il est interiptible dans le cercle.
Pour le démontrer, je dis d'abord qu'nwc des côtés donnés qui doivent se succéder dans un certain ordre, et dont le plus grand est moindre que In somme de tous tes mitres, on peut toujours former un /solygone convexe inscriptible et qu'on n’en /seul former qu'un seul.
En effet, pour mieux fixer les idées, supposons qu’on ait quatre côtés donnés AB, BC, CD, DE et que le plus grand côté AB soit plus petit que la somme des trois autres; puis, sur le milieu M de AB, élevons la perpendiculaire xy et prenons sur M-r un point 0 assez distant du point M pour que, en décrivant du point O comme centre, Bvec le rayon OA, une circonférence, la ligne polygonale BCDE formée par les côtés donnés BC, CD, DE puisse être inscrite tout entière dans l’arc BNA. Maintenant, concevons quo le point 0 se meuve sur xy, dans le sens xy; alors l'arc BNA décroîtra de plus en plus et, comme il a pour limite la droite BA (voir Note 83), qui est moindre que la ligne brisée BCDE, il est clair que le point E finira par passer audessous du point A, après avoir coïncidé avec ce point. Donc, il y a une position du point O et une seule, pour laquelle le point E se confond avec le point A ; par conséquent, avec les quatre côtés AB, BC, CD, DE, on peut former un quadrilatère convexe inscriptible, et un seul.
Cela posé, désignons par O' le centre du cercle dans lequel on peut inscrire le quadrilatère ABCDA, dont les côtés AB, BC, CD, DA sont donnés, et désignons par Q l’un quelconque des quadrilatères non inscriplibles qu’on peut former avec les mômes côtés. On peut construire, sur les côtés de ce dernier quadrilatère, des segments circulaires extérieurs respectivement égaux aux segments du cercle O', qui ont pour cordes les côtés AB, BC, CD, DA, et l’on obtiendra ainsi une figure F terminée par quatre arcs de cercle et dont le périmètre sera égal à la circonférence O'. On aura donc
cercle O' > F,
et, en retranchant de part et d’autre les quatre segments circulaires, il viendra
ABCDA > Q.
Donc ce théorème II est démontré.
KUments. 29
45o NOTES SUR LE LIVRE IV. — NOTE 53.
Remarque I. — Parmi tous 1rs polygones iso/xérime-tres tl un meme nombre de côtés, le polygone régulier est un maximum.
Car on a déjà vu, dans la Note 49 ( théor. III, a°), que le maximum entre les polygones isopérimètres de n côtés doit avoir tous ses côtés égaux ; d’où il résulte que les côtés de ce polygone sont déterminés et égaux chacun à la partie du périmètre donné. De plus, en vertu du théorème ci-dessus, ce même polygone doit être inscriptible. Donc le polygone maximum doit être régulier.
On arrive ainsi, par une autre méthode, à démontrer le théorème 111 de la Note 49, qui entraîne à sa suite les théorèmes IV, V et VI de la même Note.
Remarque II. — D’après ces théorèmes V et VI et le théorème I de cette Note, on peut conclure que les aires des polygones réguliers isnpérimètres de 3, 4, 5, . . . côtés forment une série croissante dont tes termes ont pour limite te cercle de même périmètre ; et que les périmètres des polygones réguliers équivalents de 3, 4< 5, . . . côtés forment une série décroissante dont les termes ont pour limite la circonférence ilu cercle de même aire que ces polygones.
SUR LE CALCUL p’u.NE VALEUR APPROCHÉE DE TT.
Remarques sur la méthode des isopérimètres .
Cette méthode consiste à calculer approximativement le rayon d’un cercle dont la circonférence est connue, et, comme elle est la plus simple, nous l’avons exposée dans le texte (295, 296 , 297); mais à ce que nous en avons déjà dit nous ajouterons quelques remarques.
Remarque /. — Au n° 295 nous avons démontré les deux formules
et l’inégalité
R’ = v/ïf? = y R x
Or, on peut déduire cette inégalité des formules (i) et (a); car on a d’abord
'+î-(qj>y
R'1 — rn — R x
divisant les deux membres par R' -t- r' et remarquant que R’’ — r1* est
égal à ( R' 4- r') (R' — r'), il vient
*-'-7+Wx— ’
Mais, d’après la formule (i), r + R = ir\ et par conséquent r R est
moindre que r1 + R’, d’où il résulte quo le facteur est plus petit
que 1 ; donc on a
Remarque 11. — Le calcul des valeurs des apothèmes r,, r,,..., rlt, contenues dans le tableau du n“ 296, est extrêmement simple, et, si l'on emploie les logarithmes pour calculer les moyennes géométriques y'R r , , j/|7, . . . , yfR /■„, on obtiendra aussi sans difficulté les valeurs des rayons
R /b R,,. Mais nous allons voir dans la remarque suivante qu’on
peut encore abréger ces derniers calculs.
Remarque III. — Soient a et b deux nombres quelconques. On aura
■b r-, a + b — a fib (fi — fi)*
~~fib = = a ,
or, la quantité (*/** fiL. est essentiellement positive: donc, la moyenne
arithmétique (le deux nombres est plu* gratule que leur mo) cnnc géométrique.
Maintenant, on a aussi
- fi,) + fib)
~^+fi
et de cette égalité on peut encore tirer la même conséquence que cidessus. De plus, en supposant b < a et en remarquant que chacune des
moyennes a-^— et fib est plus grande que b, il vient
donc, Indifférence entre la moyenne arithmétique et ta moyenne géométrique de deux nombres est moindre que le carré de la différence de ces nombres, divisé par huit fois le plus petit.
Cela posé, revenons au tableau du n° 296, dans lequel R, — y/RiV D’après l’inégalité (t),ona
452 PiOTBS SU H LE LIVRE IV. — ROTE 53.
et, par suite,
vVs < “ ?
Ainsi, en substituant à yR,rs la moyenne—1-^ — on commettra une
erreur moindre que 4 unités décimales du huitième ordre; donc, on peut obtenir la valeur approchée de Rs en calculant la moyenne arithmétique des nombres R, et r, au lieu de leur moyenne géométrique , et il en est de même pour les calculs de Rt, R , R„.
Remarque IV. — Nous avons dit, à la fin du n° 206, qu'en divisant 2 par o,63GGig6 , le quotient q surpassait n de moins d’un millionième ; et, en effet, on a
et
De plus, on voit qu’en prenant la valeur de q avec G décimales exactes, le nombre obtenu 3, 141 593 est encore une valeur de r: par excès, à moins d'un millionième près.
Remarque V. — Au lieu de constater seulement que q surpasse a de moins de 0,000001, on peut démontrer que cela devait être du moment qu’on avait obtenu les valeurs de r„ et de R„ avec 7 décimales communes. Car on a
et. par suite,
7~ ~ lT" < 7^ X R., r.
h ^"ii
Mais le produit R,, r . est plus grand que o,G x 0,6 ou que : et
par conséquent - — est moindre que — ^ — = "36 ’ ct a fortiori
moindre que 10; donc on aura
D’ailleurs, de la formule cire. R = 27:R on tire R = -lrc R , et on voit
que la valeur du rayon de la circonférence égale à 4 est donc on a
ct, par conséquent,
Or, de ces dernières inégalités et de l’inégalité (1) il résulte que la diffé- 2 |
ronce entre — et r. est moindre que — ou qu’un millionième, ce qu'il fallait démoulrer.
En général, si l'on veut avoir une valeur de s à moins d’une unité décimale du m"m' ordre, il suffira de calculer le rayon de la circonférence égale à 4, à moins d'une unité décimale de l’ordre m- 4-1.
Remarque VI. — Nous venons de voir que la valeur du rayon do la circonférence, égale à 4, est
Ainsi (2%), le nombre - est la limite supérieure des termes de la série
r, r,, r,,. . ., et la limite inférieure de la série R, R,, R, Donc il est
aussi la limite des termes de la suite
qui sont alternativement plus petits et plus grands que cette limite. D'ailleurs, comme r = ^ et que i est une moyenne arithmétique entre
o et 1, ii s'ensuit que - est la limite des termes de la suite indéfinie
1 \fi
dont les deux premiers termes sont o et 1, et dont les autres termes, à partir du troisième, sont alternativement moyens arithmétiques et moyens géométriques entre les deux termes qui les précédent.
Si, au lieu de partir du périmètre du carré dont le cété est égal à 1 (2%),
on prenait le côté du carré égal à i» il s'agirait de trouver le rayon d'une circonférence égale à a, dont la valeur est ou l’inverse du nombre r. Alors - serait la limite des termes de la suite
TT
dont les deux premiers termes sont o et -» et dont les autres termes, à
partir du troisième, sont encore alternativement moyens arithmétiques et moyens géométriques entre les deux termes qui les précédent.
De la méthode des périmètres.
Cette méthode est celle qui se présente le plus naturellement à l'esprit: elle consiste à calculer la circonférence d'un cercle dont le rayon est donné (294).
Supposons que le rayon donné soit égal à 1 . On aura
cire. R = 2ît, d’où r =
cire. R
donc ~ est compris entre le demi-périmètre do tout polygone régulier inscrit dans celte circonférence et le demi-périmètre de tout polygono régulier circonscrit (285, rem.).
Maintenant, puisque R = i, le côté du carré inscrit C, = y/a, celui du carré circonscrit C', = a, et les demi-périmètres do ces carrés sont a et 4; d'ailleurs, au moyen des problèmes I et IV de la Note 40, on peut calculer les côtés, et par suite les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits de 8, 16, 3a...., côtés, et on obtient les résultats suivants :
Nombre de
l)cml -péri mètre»
Deml-pérl métré»
côtés.
Inscrits
circonscrit»
jG
Ce tableau contient les valeurs par défaut des demi-périmètres inscrits et les valeurs par excès des demi-périmètres circonscrits, à moins d'une unité décimale du cinquième ordre, et l'on voit que jr est compris entre les deux nombres 3,i4)5i et 3,14176; donc 3, 1 4 > est une valeur de 7? par défaut à moins d'un millième près.
Observation. — On peut arriver de plusieurs manières h unç valeur approchée d'une circonférence dont le rayon est donné; mais, en vue d’abreger cette Note, nous croyons devoir nous borner à celle qui précédé, nous réservant d’exposer les autres dans un ouvrage qui doit suivre celui-ci et aura pour titre : Appendice aux Eléments de Géométrie.
Far le même motif nous n'exposerons pas ici les deux autres méthodes élémentaires qui conduisent a une valeur approchée de ît et que nous avons indiquées au n° 204.
NOTES SUR LE LIVRE T. — NOTE 5.j.
