SUR LE THÉORÈME DES TROIS PERPENDICULAIRES

On a démontré, dans le cinquième Livre, ce théorème (337) :

Si, par le pied d'une oblique à un plan, on mène dans ce plan nue droite per/sendiculaire à la projection de l'oblique sur le plan, cette droite sera aussi perpendiculaire à l'oblique.

Or, on pourrait placer cette proposition à la On du paragraphe relatif à la droite perpendiculaire au plan, et alors on l’énoncerait et on la démontrerait comme il suit.

Théorème.

Si du pied d'une droite K a perpendiculaire à un plan MN on abaisse une perpendiculaire a B sur une droite quelconque CD menée ilans le plan, la droite BA, qui joint te pied île cette seconde perpendiculaire à un point quelconque de la première, est aussi perpendiculaire à la droite menée dans le plan.

Pour le démontrer, on prend BC = BD et l’on mène les droites aC, «D, 4 AC, AD. La droite nB étant perpendiculaire sur le milieu de CD, on a aC = aD ; donc les obliques AC, AD sont égales, comme s’écartant également du pied

de la perpendiculaire ha, d’où il résulte que le tri-

/ angle ACD est isocèle et que la droite AB, menée du i j sommet A au milieu de la base CD, est perpendicu- - " laire sur cette base.

Remarque 1. — On voit que ce dernier énoncé est très-long et qu'il serait pénible de le répéter dans la démonstration des propositions qui se fondent sur celle-ci. C’est pour celle raison que ce théorème est désigné, comme nous l’avons déjà dit dans le texte, sous le nom de théorème des trois per/iendiculaires .

Remarque 11. — Du reste, si l’on suppose que l’oblique AB soit perpendiculaire sur CD et qu’on joigne le pied de l’oblique au pied de la perpendiculaire An, on démontrera, comme dans le texte, que la droite B« est perpendiculaire sur CD.

Ainsi, prenons encore BC = BD. Les droites AC, AD seront égales, et par conséquent elles s’écarteront également du pied de la perpendiculaire Aa ; d'où il résulte que le triangle «CD est isocèle et que la droite «B, menée du sommet « au milieu do la base CD, est perpendiculaire sur cetto base.

SUR DEUX DROITES ROR SITUÉES DANS LE Mf.MB PLAN.

Théorème 1.

Étant données deux droites AB, CD, non situées dans le meme plan et perpendiculaires entre elles ( 310 ), on //eut mener par l’une de ces droites un plan perpendiculaire à l’autre.

D'un point C de la droite CD, abaissons CE perpendiculaire sur AB; par les deux droites CD, CE, faisons passer un plan CDF, et, par le point E, menons C'D' parallèle à CD. Puisque AB est perpendiculaire à CD, elle le sera aussi à C'D'; mais AB est déjà perpendiculaire à EC; donc le plan CDF est per pendiculaire à AB.

Remarque. — Maintenant, supposons que les droites AB et CD ne soient pas perpendiculaires entres elles; je dis que, par la droite CD, on no peut pas mener un plan CDF perpendiculaire à AB.

Car, si AB était perpendiculaire à ce plan, elle serait perpendiculaire à la droite C'D’, menée par le point E parallèlement à CD; donc AB serait aussi perpendiculaire à CD, ce qui est contre l'hypothèse.

Ainsi, deux droites étant données , Ut condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse mener par l’une tic ces droites un plan p erpendiculaire à l'autre est que ces droites soient perpendiculaires entre elles.

Théorème II.

Etant données deux droites AB, CD, non situées dans le même plan, on peut mener par l’une de ces droites un plan parallèle h l’autre, et l'on n’en //eut mener qu'un.

i j Par un point C de la droite CD, menons CE paral-

lèle à AB; le plan passant par les droites CD, CE I sera parallèle à AB (325).

De plus, tout plan passant par CD et parallèle à u AB doit contenir la droite CE ( 328) ; donc il se confondra avec le plan CDE.

Théorème III.

Par un point donné E, on peut mener tut plan parallèle à la fois à deux droites AB, CD, situées ou non situées dans le meme plan, et, en général, on n'en peut mener qu’un.

Par le point E menons EF par. Hèle à AB et EU parallèle à CD; le plan EFU sera parallèle à la fois aux deux droites AB, CD (323).

Maintenant, tout plan passant par le point E et parallèle aux deux droites AB, CD doit contenir les droites EF, EG (328) ; donc ce plan doit se confondre avec le plan EFU.

458 KOTES SUR LE LIVRE V. — KOTE 5 7.

Remarque. — Si les droites AB, CD étaient parallèles, les deux droites EF, EG se confondraient en une seule EF, et l’on pourrait mener par EF une infinité de plans parallèles aux droites proposées.

Problème.

Par un jxiint donné E, mener une droite qui rencontre deux droites données AB, CD.

Supposons d’abord que les deux droites données ne soient pas dans le même plan.

Je mène deux plans, l’un passant par le point E et la droite AB, l’autre par le point E et la droite CD. L’intersection CEB de ces deux plans sera la droite demandée.

De plus, toute droite passant par le point E et rencontrant les droites AB, CD doit se trouver à la fois dans les deux plans EAB, ECD; donc elle se confondra avec CEB. Donc CEB est la seule droite satisfaisant à la question.

Si les deux droites AB, CD étaient dans un même plan et que le point E fût hors de ce plan, il y aurait deux cas à distinguer selon que les droites se couperaient en un point O ou qu’elles seraient parallèles. Dans le premier cas, la droite EO passerait par le point E et rencontrerait AB et CD ; dans le second, le problème serait impossible.

Enfin, si les deux droites AB, CD et le point E étaient dans un même plan, on pourrait mener par le point une infinité do droites rencontrant les deux premières.

SUR LA ROTATION d’l’N OU DE PLUSIEURS PLANS AUTOUR D’UN AXE.

Théorème 1.

Lorsqu'un plan ABCD tourne autour d’une droite fixe xy, située dans ce plan, tous les points du plan décrivent simultanément des arcs qui sont égaux ou semblables.

1° Soient les points A, B, dont les distances Ax, B.r à l'axe xr sont égales, et supposons que le plan ABCD tournant autour de xy prenne la position abed. Les points A, B décriront les arcs An, B b, qui seront égaux; c.ir les angles au centre Axa , B yb sont égaux, comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens. p c 2“ Soient les points E, B, dont les dis-

tances E.r, Bv à l’axe xy sont inégales, et qui décrivent les arcs Er, B b. L’arc E c sera semblable à l’arc A a (288), et, par conséquent, semblable à B b

Ef"X ,

Kya

Théorème IL

lorsque deux plans ABCD, EFG11 se coupent et qu’on tes fait tourner ensemble autour de leur intersection xy, en supposant que l’angle dièdre

NOTES sua LE LIVRE V. — NOTE 58. 4%

formé pur ces plans reste invariable, deux ftoints iptclconques, pris respectivement clans ces deux plans , décriront simultanément deux arcs qui seront égaux ou semblables.

1° Soient les deux points A, E, situés dans un plan perpendiculaire à xy et dont les distances Ax, Ex à l'axe sont égales; puis supposons que, les deux plans tournant autour do xy, le point A décrive l'arc A a, et le point E l'arc Ee. L'angle des deux plans ne variant pas, on aura

donc

arcAE = arc ae,

arcAE — arc En = arcae — arcEn, arc A a = arc Ee.

a” Soit un autre point F, pris sur la droite EF parallèle à xy, et qui décrit l’arc F/ pendant que A décrit l'arc A a, on aura

arc Au = arcEe = arc Vf.

3” Si l’on considère deux points K et F, dont les distances Kx, F/ à l'axe xy sont quelconques, l'arc KX sera semblable à A a et, par suite, à F/.

Donc la proposition est démontrée.

Remarque. — Faire tourner, autour d'un axe, un système quelconque de points donnés, c’est faire tourner ensemble les plans qui passent par l'axe et par chacun des points, en supposant que les angles dièdres formés par ces plans restent invariables. Donc tous ces points décriront simultanément des arcs qui seront égaux ou semblables.