REMARQUE SUR LA MESURE DES ANGLES DIÈDRES

En se fondant sur le premier théorème relatif aux angles trièdres (383), on peut démontrer cette proposition :

Un angle dièdre ABCD ne peut pas être mesuré par un angle AED, formé par deux droites EA, ED menées d’un j/oint E de l' arête dans les deux Jacês, si ces deux droites ne sont pas perpendiculaires à Furète.

D’abord, la proposition est évidente si les droites EA, ED font avec l’arète EC des angles inégaux; car, en faisant diminuer l'angle dièdre jusqu'à ce qu'il devienne nul, l’angle AED ne serait pas nul.

Maintenant, supposons que les angles CEA, CED soient égaux; je dis que l’angle formé par les droites EA, ED, obliques sur BC, ne peut pas être la mesure de l'angle dièdre ABCD.

En etlel, par le point C do l'arète, menons le plan CAD perpendicu-

46o NOTES SUR LE LIVRE V. — NOTE 59.

laire à BC, qui coupe les droites EA, ED aux points A, D; du point C, comme centre, décrivons l’arc DA, tirons le rayon CF, joignons EF, et enfin menons le plan BCF. L’angle CEF sera égal à chacun des deux angles CEA, CED, et, par conséquent, si l'angle dièdre total ABCD était mesuré par l’angle AED, les angles dièdres partiels ABCF, FBCD auraient pour mesures les angles AEF, FED, et l’on devrait avoir

AED = AEF + FED.

Or, cela est impossible ; car les trois points A, F, D ne sont pas en ligne droite, et par conséquent les droites EA, EF, ED forment un angle trièdre ; donc l’angle plan AED est plus petit que la somme des deux autres AEF, FED.