SUR LES PLANS PARALLÈLES

TtiÉonÉue I.

Par une droite AB parallèle à un plan SI N , an peut mener un plan parallèle au premier, et l’on n’en peut mener qu'tut.

a R Dans le plan S1N, traçons la droite CD parallèle

à AB (348), et une autre droite quelconque CE; puis menons AF parallèle à CE. Les deux angles BAF, — p/ DCE ont leurs côtés respectivement parallèles ; donc / le plan ABF est parallèle au plan MN (373).

— N De plus, tout plan passant par AB et parallèle au plan MN doit contenir la droite AF, qui est parallèle à CE et, par suite à MN (3C8); donc ce plan doit se confondre avec le plan ABF.

TllÉonÈME II.

Par lieux droites AB, CD, non situées dans un même plan, an peut mener deux plans parallèles, et l'on n’en peut mener que deux.

D'abord, si l'on mène AE parallèle à CD et CF parallèle à AB, les plans

a „ ABE, CDF seront parallèles; donc la première partie

~ " de la proposition est démontrée. •

g En second lieu, supposons que deux plans passant

c„___ pun par AB) paulre par Ql)i soienl parallèles; a|ors |a

~ droite AE, parallèle à CD, devra être contenue dans le

û plan qui passe par AB (368) ; donc ce plan n’est autre

que le plan ABE, et, par suite, le second plan, qui passe par CD, se confondra axec le plan CDF (371 ).

Remarque J. — Le plan CDF n’est autre que le plan mené par CD parallèlement à la droite AB; do même, ABE est le plau qui passe par AB et qui est parallèle à CD.

Remarque II. — Les plans parallèles ABE, CDF, qui passent respectivement par les droites AB et CD non situées dans le même pian, sont parallèles à tout plan mené parallèlement à ces deux droites.

TlltOlli.UK 111.

Si deux plan t parallèles sont cou/tés par un troisième , le s angles dièdres cnrresjxMilants sont égaux.

Soient les plans parallèles MN, PQ coupés par le plan RS suivant les parallèles AB, CD; puis, par un |>oint quelronquc de AB, B par exemple, menons un plan perpendiculaire à AB, qui coupera le plan RS suivant la droite

yt RD, et les plans MN, PQ suivant les parallèles BN,

r DQ. Alors les angles plans RBN, RDQ mesure-

/ \ ront les deux angles dièdres correspondants RABN,

RCDQ (351 ) ; mais il est facile de voir que ces deux angles plans sont égaux (84); donc on a aussi

RABN = RCDQ.

Remarque. La réciproque n'est pas vraie. Car on peut tracer dans

le plan RS deux droites AB, CD qui se rencontrent, et mener par ces droites deux plans MN, PQ, de manière que les angles dièdres RABN, RCDQ soient égaux, et il est évident que ces deux plans ne seront pas parallèles.

Mais, lorsqu’on accorde à la fois que les angles dièdres RABN, RCDQ sont égaux ci que les intersections AB, CD sont parallèles, on peut conclure le parallélisme des plans MN, PQ. Car, en supposant toujours qu'on ait mené le plan RDQ perpendiculaire aux parallèles AB, CD, l'égalité des angles dièdres RABN, RCDQ entrainera l'égalité des angles plans RBN, RDQ, et, par suite, les droites BN, DQ seront parallèles (81 ).

Ainsi les angles ABN, CDQ ont leurs côtés respectivement parallèles; donc leurs plans MN, PQ sont parallèles.

Corollaire. — De ce théorème il résulte : 1“ que les angles dièdres altemes-internes MABD, BCDQ sont égaux ; a0 que les angles dièdres alternesexlcrnes RABN, K. DS sont égaux, etc., lorsque les deux plans parallèles MN, PQ sont coupés par un troisième plan RS.

SLR LE QUADRILATÈRE GACCHE.

On appelle quadrilatère gauche un système de quatre droites AB, BC, CD, DA, qui se coupent consécutivement et qui ne sont pas situées dans un mémo pian. On peut dire aussi qu'un quadrilatère gauche est une figure formée en assemblant deux triangles ABD, BDC, qui ont un côté commun et dont les plans ne coïncident pas.

Les droites AC, BD sont les diagonales du quadrilatère.

Théorème 1.

Tout plan parallèle à deux côtés opposés d’un quadrilatère gauche divise tes deux autres côtés en parties proportionnelles.

vr

Soient le quadrilatère gaucho ABCD et le plan MN, parallèle îi la fois aux côtés AD, BC [voir Note 56, théor. III), qui coupe les deux autres côtés aux points E, F. I.os deux plans parallèles qu'on peut mener respectivement par les côtés AD, BC sont parallèles au plan MN (voir Note 59, théor. Il, rem. II); donc on peut regarder les deux droites AB, CD comme étant coupées par trois plans parallèles, et par conséquent

on a (375)

AE

EB

DF

FC*

Théorème II.

Toute droite EF qui divise proportionnellement deux côtés opposés AB, DC d'un quadrilatère gauche ABCD est située dans un plan parallèle aux deux autres côtés AD, BC.

En effet, concevons qu’on mène par le point E un plan P parallèle aux o deux côtés AD, BC ; ce plan devra diviser DC en deux parties proportionnelles aux droites AE et EB, et par conséquent il passera par le point F ; donc il contiendra / i la droite EF.

B c Remarque. — Les deux plans parallèles qu'on peut

mener par les côtés opposés BC, AD sont parallèles au plan P (ww'rNote 59, théor. II, rem. II), et, par suite, à EF ; et réciproquement, si une droite EF divise en parties proportionnelles les côtés opposés AB, DC, elle est située dans un plan P parallèle aux deux autres côtés, et, par conséquent, les plans parallèles à EF, menés respectivement par BC et par AD, ne sont autres que les plans parallèles passant respectivement par BC et par AD ( voir Note 56, théor. II).

Cette réciproque nous servira dans le théorème suivant.

Théorème III.

lorsqu’une droite EF divise proportionnellement deux côtés opposés AB, DC d’un quadrilatère gauche, si l’on mène une seconde droite GII qui divise aussi les deux autres côtés en parties pro/tortionnelles, ces deux droites se rencontreront.

Par le côté BC, faisons passer un plan MN parallèle à AD, et par conséquent parallèle à EF ; puis, par les points A, D, E, F, menons les droites A«, D</, Ee, F/, parallèles à GH, qui rencontrent le plan MN aux poinls a, d. e, f.

Alors les plans ABn, DCr/ étant parallèles chacun à GH, seront parallèles entre eux (rem. du théor. II), et les droites B a, Cd seront aussi parallèles, comme intersections de deux plans parallèles coupés par un troisième MN. Enfin joignons le point H aux points e et f.

En vertu de l'hypothèse et à cause des droites parallèles à GH, on aura AE DF ne rlf

EB = FC ~ ëB ~ Je’

d'où l'on tire

ne -i-eB df ■+■ fC.

ëB JC-’

ou

«B dC.

<rB ~ /C’

ou bien

oB cB

dC ~ JÏ.'

d’ailleurs les triangles BHa, CHe/, qui sont semblables comme étant équiangles, donnent