GO AE OH ~ EB

Théorème IV.

Si un plan transversal EFGH coupe les quatre côtés d'un quadrilatère gauche ABCD considérés comme indéfinis, il détermine sur ces côtés huit segments tels, que le produit de quatre segments non consécutifs AE, BF, CG, DH est égal au produit des quatre autres EB, FC, GD, HA.

$64 NOTES Sun LE LIVRE V. NOTE Go.

Supposons d’abord que le plan EFGH rencontre la diagonale AC au point K. Le triangle ABC, coupé par la transversale EFK, donne (voir Note 37, Des transversales)

AE x DF x CR = EB x FC x KA ;

do même, le triangle ACD étant coupé par la transversale 11GK, on a

AK x CG x OH = KC x GD x HA;

et, si l'on multiplie ces égalités membre à membre, il vient

(i) AE x BF x CG x DH = EB x FC x GD x HA.

i i i cr/Mi .1.1 , .r AE CF CG AH

Lorsque le plan EFGH est parallèle a AC, on a = pg , ;

d’où l’on tire

AE x BF - EB x FC,

CG x DH^ GD x HA;

et, si l’on multiplie ces égalités membre à membre, on obtient encore l égalité ( i). •

Remarque I. — Réciproquement, soient les quatre points E, F, G, H pris sur les côtés du quadrilatère ABCD, et tels qu’on ait l’égalité (i); je dis que ces quatre points sont sur un même plan.

Par les trois points E, F, G, faisons passer un plan, et supposons qu'il coupe AD, au point IF par exemple. On aura

AE x BF x CG x D1F = EB x FC x GD x H A,

cl, si l’on divise l’égalité donnée par celle-ci, il vient