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REMARQUES SUR LES CAS D'ÉGALITÉ DES ANGLES TRIÈDRES. — DE I A POSSIBILITÉ DR COUPER PAR UN PLAN TOUTES LES ARÊTES d’un ANGLE POLÏÈDRE CONVEXE. — SUR LES PROPOSITIONS DIVBRSES DU CINQUIÈME LIVRE.

Remarques sur les cas d'égalité des angles trièdres.

Remarque /. — Lorsque deux angles trièdres ont une face égale adjacente & deux angles dièdres égaux chacun à chacun (388), on peut concevoir qu’on les superpose de manière que leurs deux faces, égales par hypothèse, coïncident et que leurs troisièmes arêtes se trouvent d’un même côté de la face commune; alors, selon que les arêtes de deux angles dièdres égaux coïncident ou ne coïncident pas, ces deux angles dièdres sont disposés de la même manière ou inversement placés par rapport à la face commune, et on dit aussi, avant la superposition, que ces deux angles dièdres sont disposés de la même manière ou inversement placés par rapport aux deux faces égales des deux angles trièdres.

Mais, lorsque deux angles trièdres SABC, TDEF (388) ont une face égale (ASC = DTF) adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun (SA = TD, SC = TF), on peut, sans les "superposer, reconnaître si les deux angles dièdres égaux sont disposés de la même manière ou d’une manière inverse par rapport aux deux faces égales. Pour cela, imaginons un premier observateur couché sur la face ASC, ayant la tôle en S et regardant l'arête SB, puis un second observateur couché sur la face DTF, ayant la tète en T et regardant l'arête TE; ces deux observateurs auront tous deux à leur droite les arêtes des angles dièdres égaux SA, TD, et on pouna conclure que ces angles dièdres sont disposés de la même manière |>ar rapport aux faces égales ASC, DTF.

Du reste, au lieu de ces deux observateurs, on peut en imaginer deux Élément). 3o

466 NOTES SUR LE LIVRE V. — NOTE 6l.

autres, l'un couché sur l’aréte SA, ayant la tète en S et regardant les arêtes SB, SC, puis un second couché sur l'arète TD, ayant la tête en T et regardant les arêtes TE, TF ; alors le premier de ces observateurs verrait successivement de droite à gauche les arêtes SB, SC, et le second verrait aussi successivement de droite à gauche les arêtes correspondantes TE, TF, d’où l’on conclurait que les éléments égaux des deux angles trièdres sont disposés de la même manière.

Il est clair qu’on peut faire des remarques analogues pour le3 trois autres cas d’égalité des angles trièdres (389, 390, 391), et qu'on peut aussi les étendre à deux angles polyèdres quelconques ayant leurs angles dièdres successifs respectivement égaux et compris entre des faces égales, lorsqu’il s'agit de reconnaître si ces angles polyèdres sont égaux ou symétriques.

Remarque II. — Do même que du troisième cas d’égalité des angles trièdres (390) on a déduit le quatrième, en considérant les angles trièdres supplémentaires des trièdres proposés; de même, les deux premiers cas d’égalité (388, 389) peuvent so déduire l'un de l’autre.

Remarque III. — On |>cut démontrer le troisième cas d'égalité de deux angles trièdres des trois manières suivantes.

Première manière. — Elle consiste à considérer deux cas, dont le premier est très-simple, et à ramener le second cas au premier.

Soient les angles trièdres SABC, TDEF, et supposons que les faces

ASB, BSC, ASC soient respectivement égales aux faces DTE, ETF, DTF; je dis que ces deux angles trièdres sont égaux.

i* Supposons que les deux angles plans ASB, ASC soient aigus, et, d’un point quelconque G de l'arête SA, élevons sur SA, dans les faces ASB,

ASC, les perpendiculaires GH, GK; alors ces perpendiculaires rencontreront les arêtes aux points H, K, et joignons HK; de même, après avoir pris TL = SG, si l'on élève sur TD, dans les faces DTE, DTF, les perpendiculaires LM, LN, ces droites rencontreront les arêtes TE, TF aux points M, N, et joignons MN. Les quatre triangles SGH, SGK, SHK, GÜK sont respectivement égaui aux triangles TLM, TLN, TMN, LMN; par suite, l'angle I1GK est égal à l’angle MI A’, et de là il résulte que les angles dièdres SA, TD sont égaux, ainsi que les angles trièdres SABC, TDEF.

a“ Supposons que les deux angles plans ASB, ASC soient quelconques; prenons les six longueurs égales SA, SB, SC, TD, TE, TF, et menons les droites AB, BC, AC, DE, EF, DF. Les quatre triangles SAB, SBC, SAC.

«OTES SU« LE LIVRE V. — NOTE Gl. 4^"

ABC sont respectivement égaux aux triangles TDE, TEF, TDF, DEF; par suite, les deux angles trièdres ABCS, DBFT ont leurs faces égales chacune à chacune, et, de plus, les deux angles plans SAB, SAC sont aigus, comme angles à la base do triangles isocèles; donc encore les angles dièdres SA, TD sont égaux, ainsi que les angles trièdres SABC, TDEF.

C'est pour ne pas considérer doux cas que nous avons adopté la démonstration donnée au n° 390.

Seconde manière. — Soient toujours les deux angles trièdres ei-dessus SABC, TDEF, qui ont leurs faces égales chacune à chacune; je dis qu’ils sont égaux.

Prenons encore les six longueurs égales SA, SB, SC, TD, TE, TF, et menons les droites AB, BC, AC, DE, EF, DF. Nous formerons ainsi huit triangles égaux deux à deux, et, si l’on désigne par O, O’ les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC, DEF, les droites SO, TO’ seront les axes des circonférences des deux cercles (322, 323).

Maintenant, concevons qu’on porte l’angle trièdre T sur l’angle trièdrcS, de manière que le triangle DEF coïncide avec son égal ABC. Le point O' tombera sur le point O, et la perpendiculaire OT prendra la direction de OS; d’ailleurs, en menant les droites OA, O'D, on formera deux triangles rectangles SOA, TO’D, qui seront égaux comme ayant l’hypoténuse égale et un autre côté égal; donc O'T — OS, et par conséquent le sommet T du second angle trièdre tombera sur le sommet S du premier. Ainsi, les deux angles trièdres S et T coïncideront; donc ils sont égaux.

S’il s’agissait de démontrer que les angles trièdres S et T' (voir la figure du n° 390) sont symétriques, on porterait l’angle trièdre T' sur le symétrique de l’angle trièdre S, après avoir fait des constructions analogues aux précédentes.

Troisième manière. — Elle consiste à démontrer d’abord cette proposition analogue à celle du n° 94 :

Si deux faces ASB, ASC d’un angle trièdre sont respectivement égales à lieux faces DTE, DTF d’un autre angle trièdre, et que l’angle dièdre SA compris entre les deux premières faces soit plus grand que l’angle dièdre DT compris entre les deux autres, la troisième face du premier trièdre sera plus grande que la troisième face du second.

Soient toujours les six longueurs égales SA, SB, SC, TD, TE, TF, et

menons les droites AB, BC, AC, DE, EF, DF ; de plus, prenons AG = DL et soient IIGK, MLN les angles plans qui mesurent les angles dièdres SA ,

468 NOTES SUR LE LIVRE V. — NOTE Cl.

TD. Les quatre triangles SAB, SAC, GAH, GAK seront respectivement égaux aux triangles TDE, TDF, LDM, LDN; par suite, dans les triangles GHK, LMN, les côtés GH, GK sont égaux aux côtés LM, LN chacun à chacun, et comme, par hypothèse, l’angle HGK est plus grand que MLN, il s'ensuit que le côté HK est plus grand que le côté MN. Alors, en comparant successivement les triangles AHK et DMN, ABC et DEF, SBC et T£F, on verra facilement qu’on a

angle HAK > angle MDN, BC > EF, angle BSC > angle ETF,

et par conséquent la proposition est démontrée.

De là, en raisonnant comme au n° 95, on déduira le troisième cas d’égalité des angles trièdres.

De la possibilité de cou/>er par un plan toutes les arêtes d'an angle polyèdre convexe.

Pour légitimer la construction faite au n° 395, nous allons démontrer cette proposition :

Étant donné un angle polyèdre convexe SABCDE, on /seul le couper par un plan qui rencontre toutes les arêtes.

En effet, dans le plan de la face ESD, menons par le point S une droite quelconque MP en dehors de l’angle ESD, et soit MN un plan qui coïncide avec celui de la Tacc ESD.

Toutes les arêtes autres que SE, SD sont situées d’un même côté du plan MN, et, si l’on fait tourner ce plan autour de la droite MP, il passera successivement par chacune des arêtes SA, SB, SC, et, après avoir dépassé la dernière et avant de se confondre de nouveau avec le plan SED, il prendra une position telle que MN'. Alors toutes les arêtes coupent le plan MN' au point S, et elles sont toutes situées d’un même côté de ce plan; donc, si par un point quelconque A, par exemple, de l’arête SA, on mène un plan ABCDE parallèle à MN', ce plan coupera toutes les arêtes (3C9).

D’ailleurs, le polygone ABCDE sera convexe. Car le plan de la face ESD, par exemple, laissant d’un même côté toutes les autres faces do l’angle polyèdre, il est clair que la droite indélinie EF laissera aussi d’un même côté tous les côtés du polygone.

Sur les pro/xtsitions diverses du cinquième Livre.

A ces propositions, nous pourrions en ajouter beaucoup d’autres plus ou moins analogues à des propositions déjà vues dans la Géométrie plane, mais nous nous bornerons à démontrer celle-ci, qui servira dans les Notes relatives au sixième Livre [voir No to 68).

Théorème.

Si, des trois sommets d'un triangle ABC et du point d'intersection O de scs médianes, on abaisse des perpendiculaires A a, B b, Ce, Oo sur un

NOTES Sun LE LIVRE V. — NOTE til. 4^>9

plan MN extérieur nu triangle, ta < /uatrième perpendiculaire sera une moyenne arithmétique entre les trois autres.

Des points D, E, milieux des droites BC, OA, on abaisse Dr/, Ec perpendiculaires sur le plan MN ; alors la démonslra lion est identique à celle qui a été donnée dans la Note 10.

Pour démontrer ce théorème, on peut aussi se fonder sur la Note US.

Remarque. — Si le plan ABC était perpendiculaire au plan MN,on retomberait sur une proposition de la Géométrie plane (voir Notes 10, 28 et 3S).

. SUR l'égalité de deux trismes quelconques.

Théorème.

Deux prismes quelconques ABCDEL, A'B'C'D'E'L' sont égaux, lorsqu'ils ont un angle trièdre compris entre trois faces égales chacune h chacune et disposées de la même manière.

Soient la base ABCDE égale à la base A'B'C'D’E'eties deux parallélo-

grammes AG, AL respectivement égaux aux parallélogrammes A'G', A'L', et supposons en outre que les faces qui comprennent l'angle trièdre A, et celles qui comprennent l’angle trièdre A’, soient assemblées do telle sorte que les angles plans des angles trièdres A et A’ soient égaux chacun à chacun et disposés de la même manière ; je dis que les deux prismes sont égaux.

En effet, les angles trièdres A, A’ sont égaux (390), et, si l'on porte le second prisme sur le premier, de manière que l'angle trièdre A’ coïncide avec son égal A, la base A'B’C’D'E' se confondra avec la base ABCDE, et il en sera de même des parallélogrammes A’G’, AG et des parallélogrammes A'L’, AL; donc les points G', F', L' tomberont sur les points G, F, L, et par conséquent la base supérieure du second prisme coïncidera avec la base supérieure du premier. Donc les deux prismes sont égaux.

Remarque. — Si les angles trièdres A, A' de deux prismes obliques AH, A’ H" sont compris sous trois faces égales chacune à chacune, mais disposées de manière que l'angle plan FAB = F’A’B' et que l’angle FAE = F'A’E', on no peut plus faire coïncider les deux prismes, ni "en superposant leurs bases inférieures, ni en superposant la base supérieure du second sur la base inférieure du premier. On peut retourner le prisme A"H', lo porter sur le premier et faire coïncider la base F'G'IP K’L" avec la base ABCDE; mais alors, si le prisme A" H” devait coïncider avec le prisme AH, l'angle plan A'F'G* devrait se confondre avec l'angle FAB, ce qui est impossible, car ces angles sont seulement supplémentaires.

Ils no sont égaux que dans le cas où les deux prismes sont droits.

SUR LES DIAGONALES ET LES ARÊTES d'i N PARALLÉLIPIPÈDE. SUR LE TÉTRAÈDRE.

Les quatre diagonales d'un paralièlipipède AG sç coupent mutuellement en parties égales.

Car les deux arêtes BF, DH sont égales et parallèles ; donc les diagonales BH, DF ne sont autres que celles du parallélogramme BDHF, et par conséquent elles se coupent en parties égales. On verrait de même, en considérant les parallélogrammes Bf.HE, ABGH, que les diagonales CE, AG passent par le milieu O de la diagonale BH; donc les quatre diagonales se coupent mutuellement en parties égales.

Remarque. — On démontrerait facilement que le point O est le milieu de toute droit© passant par ce point et terminée de part et d’autre à la surface du paralièlipipède, c’est-à-dire que le parallélipipède a pour centre le point d’intersection de ses diagonales.

Théorème H.

Dans tout paralièlipipède, la somme des carrés des quatre diagonales est égale à la somme des carrés des douze arêtes. ( V i ir la fig. ci-dessus. )

Car, en menant les plans ACGE, BDHF, on détermine deux parallélogrammes dans lesquels la somme des carrés des diagonales est égale à celle des carrés des quatre côtés; donc on a (253)

et

AG1 4- CE5 = aAC" 4- aAE1 BH: 4- DF* = a BD* 4- aBK*.

Ajoutant ces égalités membre à membre et remarquant que

AC 4- BD = a AB 4- a AD , et que AE = BF, il vient

AG 4- BH 4- CE -f-DF — 4 AB 4- 4 AD 4- 4AE .

Corollaire I. — Si le paralièlipipède est rectangle, les sections ACGE, BDHF sont des rectangles égaux: donc les quatre diagonales sont égale- (108), et l’on a

ÂGJ = Ab’4-ÂD34-ÂË\

Donc, dans un paralièlipipède rectangle, le carré de l'une des dingo-

unies est égal à la somme des cnrrés tles trois arêtes issues d’un mente sommet.

Il est, du reste, très-facile de démontrer directement celle égalité.

Corollaire II. — Le carré de In diagonale d’un cube est le triple du carré de son côté.

TnÉORKME 111.

Les droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre ABCD aux centres de gravité des faces opposées se coupent en un même point.

Soient E le milieu de BC et AF, DG les droites menées aux centres de gravité F, G des faces BCD, ABC (voir Note 10). D’abord ces droites sont toutes deux situées dans le plan AED, et par conséquent elles se couperont en un point 0.

Ensuite la droite GF, divisant les médianes DE. AE en parties proportionnelles (121), est parallèle à AD (221), et, par suite, les triangles OGF, OAD sont semblables, ainsi que les triangles EGF, EAD; donc on a

OF GF EG ii OA - AD “ EA ~ 3’

donc OF est le tiers de OA ou le quart de AF. On .verrait de même que les autres droites menées des sommets B et C aux centres de gravité des faces opposées couperaient AF aux trois quarts de cette droite à partir du sommet A, ou au quart à partir de la face BCD; donc la proposition est démontrée.

Théorème IV.

Si, des quatre sommets d’un tétraèdre ABCD et du point d’intersection O des droites qui joignent les sommets aux centres de gravité des faces opposées, on abaisse des perpendiculaires ka, B 4, Ce, Dr/, Oosur un plan MN extérieur au tétraèdre, la cinquième perpendictdairc Oo sera une moyenne arithmétique entre les quatre autres.

Du point F, centre des moyennes distances du triangle BCD, abaissons

aussi sur MN la perpendiculaire F f.

Dans le trapèze AF/a, la droite AO est à la droite OF comme 3 est à i ; donc (voir Notes 33 et 61 )

Aa + Bé -t-Cc-f- I),/

Définition. — Le point O est le

centre des moyennes distances du tétraèdre ABC.I). (On voit, en Mécanique, que ce point est aussi le centre de gravité du tétraèdre. )

Théorème V.

Si an tétraèdre ABCD a un angle trièdre trirectangle A (387), le carré de la face opjsosée à cet angle est égal à la somme des carres des trois autres Jaces.

Abaissons AE perpendiculaire sur BC et menons la droite DE. En vertu du théorème des trois perpendiculaires (339), le plan DAE sera perpendiculaire à BC, et, par suite, à la face BCD (356); donc, en abaissant AF perpendiculaire à DE, ia droite AF sera aussi perpendiculaire à la face BCD (358).

Maintenant, si l'on joint le point F aux sommets B et C, les t/ois triangles DBC, FBC, ABC ayant la même base BC, sont entre eux comme leurs hauteurs ; donc