Deux droites AB, CD, perpendiculaires à une troisième

, r B EF, sont parallèles.

Car, si ces deux droites se rencon-

traient au point G, par exemple, on

c F u pourrait de ce point abaisser sur EF

deux perpendiculaires GBE, GDF, ce qui est impossible.

PARALLÈLES

TnÊORÈME II.

81. Deux droites AB, CD, sont parallèles, lorsqu'elles font avec une transversale EF des angles alternes-internes égaux

AGH, GHD.

En effet, si du point 0, milieu de GH, on abaisse OK perpendiculaire sur AB, et OM perpendiculaire sur CD, les triangles rectangles OKG, OMII, ont leurs hypoténuses égales par construction et les angles aigus OGK, OHM, égaux par hypothèse; donc ces triangles sont égaux et, par suite, l’angle GOK = HOM. Ainsi, les deux droites OK, OM, menées de part et d’autre de la droite GH, font avec GH des angles non adjacents GOK, HOM, égaux entre eux ; donc OM est le prolongement de KO (59). Donc les deux droites AB, CD, sont perpendiculaires à une même droite KM, donc elles sont parallèles.

Si l’on suppose que les angles alternes-internes obtus BGH, GHC, soient égaux, leurs suppléments respectifs AGH, GHD, sont aussi égaux et on retombe dans le cas précédent.

Corollaire /. — Deux droites AB, CD, sont encore parallèles, lorsqu'elles forment avec une transversale EF des angles correspondants égaux, ou des angles alternes-externes égaux, ou des angles internes d’un même côté supplémentaires, ou des angles externes d’un même côté supplémentaires.

Pour le démontrer il suffit de faire voir que chacune de ces hypothèses entraîne l’égalité de deux angles alternes-internes.

i“ Supposons, par exemple, que les angles correspondants b, f, soient égaux; alors, comme les angles b, c, opposés au sommet, sont égaux, on aura c=f.

2° Si les angles alternes-externes b, g, sont égaux, les angles c, /, qui leur sont opposés au sommet, sont égaux.

3° Si les angles internes d'un même côté d, f, sont supplémentaires, les angles c,f, sont égaux, comme étant chacun le supplément de d.

4° Enfin, si les angles externes d’un même côté b, h, sont supplémentaires, les angles correspondants b, f, sont égaux, comme étant chacun le supplément de h, et, par suite, c=f.

Lorsque deux parallèles AB, CD, sont coupées par une transversale, on voit que les quatre angles aigus b, c, f, g, sont égaux, ainsi que les quatre angles obtus a, d, e, h.

Corollaire II. — Si deux droites, qui ne sont pas parallèles, sont coupées par une transversale , les angles altemesinternes seront inégaux, ainsi que les angles correspondants et les angles alternes-externes, et les angles internes d'un même côté, ainsi que les angles externes d’un même côté, ne seront pas supplémentaires.

Car, si les angles alternes-inlernes, par exemple, étaient égaux, les droites seraient parallèles, ce qui serait contraire à l’hypothèse.

Problème.

82. Par un point A mener une parallèle à une droite donnée xy.

l)u point A comme centre, avec un rayon suffisamment grand, je décris un arc de cercle B s qui coupe xy au point B; du point B comme centre, avec le même rayon BA, je décris un second arc qui coupe xy au point C, et du point B, pris de nouveau comme centre, avec un rayon égal à la corde CA, je décris un troisième arc qui coupe B s au point D; enfin je mène la droite AD qui est la parallèle demandée.

Car les angles alternes-internes ABC, BAD, sont égaux comme angles au centre qui interceptent des arcs égaux (57).

Remarque. — Par un point A on ne peut mener qu'une parallèle à une droite xy.

Nous regarderons celte proposili m comme évidente.

Corollaire. — Si une droite EF en rencontre une autre AB, elle rencontrera aussi sa parallèle Cl).

Car, si EF suffisamment prolongée ne B rencontrait pas CD, la droite EF serait parallèle à CD; donc, par le point F on pour- rail mener deux parallèles à CD, ce qui D est impossible.

Théorème III.

83. Si deux droites AB, CD, sont parallèles, toute droite EF perpendiculaire à l’une CD est aussi perpendiculaire à l'autre AB; ou, en d’autres termes,

Pl deux parallèles ont leurs perpendiculaires

communes.

Car, si AB était oblique à EF, on pourrait

c F[J i> du point E élever sur EF une perpendiculaire EG , et cette perpendiculaire serait parallèle à CD; donc, par le point E on pourrait mener deux parallèles à CD, ce qui est impossible.

PARALLÈLES

Corollaire. — Deux droites DE, FG, suffisamment prolongées, doivent se rencontrer, lorsqu’elles sont respectivement £ 0 perpendiculaires aux côtés d’un angle ABC.

j \ Car, si les droites DE, FG, étaient paral-

\ /c lèles, les perpendiculaires BA, BC, abais-

j sées du point B sur ces parallèles, de-

* D B vraient ne former qu’une seule ligne droite,

ce qui est contre l'hypothèse.

84. Deux parallèles AB, CD, font avec une transversale EF des angles alternes-internes égaux.

En effet, si du point 0, milieu de GH, on abaisse OK perpendiculaire sur AB, la droite OK prolongée rencontrera CD E en un point M, et sera aussi perpendi- 4 u o b culaire à CD; alors les triangles rectan - ~ÿ ' gles OKG, OMH, ont leurs hypoténuses

/j égales et les angles aigus GOK, 110.W,

c /“ M D égaux comme opposés au sommet; donc K ces triangles sont égaux, et, par suite,

les angles alternes-internes aigus OGK, OHM, sont égaux.

Quant aux angles alternes-internes obtus OGB, OHC, ils sont égaux, comme étant respectivement les suppléments des angles OGK, OHM.

Corollaire /. — Deux parallèles AB, CD, font aussi, avecune transversale EF, des angles correspondants égaux, des angles alternes-externes égaux, des angles internes d’un même côté supplémentaires, des angles externes d’un même côté supplémentaires.

i° Les angles correspondants b,f, par exemple, sont égaux; /e car b = c cl c = f.

î 'j __b 2° Les angles alternes-externes b, g,

'' sont égaux ; car b = c et g=f

\J 3° Les angles internes (l’un môme

côté d, f, sont supplémentaires; car T d+c = 2 droits et c — f.

4° Les angles externes d'un même côté b, h, sont supplémentaires; car b=f cl f + h = 2 droits.

Corollaire II. — Deux droites AB, CD, suffisamment prolongées, doivent se rencontrer, lorsqu’elles font avec une transversale EF des angles alternes-internes, ou des angles correspondants, ou des angles alternes-externes inégaux, ou bien des angles internes d’un même côté ou des angles extei'nés d’un même côté qui ne sont pas supplémentaires.

38 GÉOÜÉTRIE PLANE. — LIVRE I.

Car, si les droites AB, CD, étaient parallèles, on en conclurait l’égalité des angles alternes-internes, par exemple, ce qui serait contre l'hypothèse.

Il est d’ailleurs facile de reconnaître que les deux droites AB, CD, se rencontrent du côté de EF, où la somme des angles internes d’un même côté d, f, est moindre que deux droits. Car, si on mène par le point H la droite KM parallèle à AB, la partie HC de la droite CD et la droite AB seront situées de part et d’autre de la droite KM ; donc la droite CD, prolongée dans le sens HC, ne saurait rencontrer la droite AB.

Tuêorèhe V.

83. Deux droites CD, EF, parallèles à une troisième AB, sont parallèles entre elles.

Car si les droites CD, EF, se rencontraient en un point G, on pourrait par ce point mener deux parallèles à AB.

Remarque. — On peut démontrer celte proposition en menant une transversale HK perpendiculaire à AB; alors HK est aussi perpendiculaire aux deux droites CD, EF, qui sont chacune parallèles à AB, et, par suite, ces deux droites sont parallèles.

On peut encore mener une transversale quelconque LM. Les angles LNB, NOI), sont égaux comme correspondants, à cause des parallèles AB, CD, et les angles correspondants LNB, NPF, sont aussi égaux à cause des parallèles AB, EF ; donc l’angle N'OD = NPF, donc CD et EF sont parallèles. [Notes 8 et 9.]

g IV. — TRIANGLES , QUADRILATÈRES, POLYGONES.

Triangles.

Définitions. — Nous avons vu qu’un triangle est un polygone de trois côtés (55).

86. On appelle triangle équilatéral celui qui a ses trois côtés égaux; triangle isocèle, celui qui a deux côtés égaux; triangle scalène, celui qui a ses trois côtés inégaux.

Un triangle équiangle est celui dont les trois angles sont égaux.