SUR LA DIFFÉRENCE DES CUBES FAITS SUR DEUX DROITES

Théorème.

La différence des cubes faits sur deux droites AB, CD est équivalente à la somme de trois parallclipipèdes qui ont / x>ur hauteur commune ta différence des deux droites, cl qui ont respectivement pour bases te carré fait sur la première droite, le rectangle fait sur tes deux droites et le carré fait sur la seconde droite.

Sur la droite AB je construis le cube AC et sur la droite CD je construis le cube CE, de manière que ces deux cubes aient l'angle trièdre C commun ; je prolonge les faces EF, DE du second cube, ce qui détermine dans le premier la section FG, et dans le parallélipipéde GC la section DH.

Alors on voit que la différence des cubes AC, CE n'est autre que la somme des trois parallélipipèdes AF, DG, EK; or, le premier AF a j*jur hauteur la différence AG des deux droites proposées, et pour base le carré fait sur AB, le second DG a pour hauteur GH = AG cl pour base le rectangle DH dont les dimensions sont égales aux droites AB, CD, et le troisième EK a pour hauteur EH = AG, et pour base le carré fait sur DC. Donc le théorème est démontré.

Remarque. — En désignant les mesures des deux droites AB, CD par a, 6, on aura

cè — lè = a’ [a — b) + ab [a — b) + b' [a — b)

= (« — b\ (a1 -( - ab b ’).