SUR LA PYRAMIDE QUI A POUR BASE UN PARALLÉLOGRAMME

Dans le texte on a démontré d’abord que deux pyramides triangulaires sont équivalentes, lorsqu'elles ont des bases équivalentes et des hauteurs égales (129), d’où l'on a conclu que le plan mené par choix arêtes opposées d'une pyramide ayant /mur base un parallélogramme divise cette pyramide en deux pyramides triangulaires équivalentes (A30).

Mais on peut démontrer directement ce corollaire, qui devient alors un théorème.

NOTES SLR LE LIVRE VI. NOTE Wj. A--

Soit la pjramidc SABCD, dont la base ABCD est un parallélogramme,

et par les arêtes opposées SD, SB, menons un plan ; je dis que les pyramides SABD, SBCD sont équivalentes.

Divisons l'aréte SD en quatre parties égales, par exemple, et par les points de division menons des plans parallèles à la base ABCD qui déterminent les sections EFGH, KLM N, UPQR. Ces sections seront des parallélogrammes ; cac les droites EK, HG sont parallèles comme étant respectivement parallèles aux côtés AB, DC (308), et de même EU est parallèle à KG, etc. ; donc le plan SBD divise chacune de ces sections en deux triangles égaux.

Cela posé, dans la pyramide triangulaire SABD, construisons le prisme EFHD qui a pour base EFH et pour arête HD, ainsi que les prismes KLNH, OPRN, et construisons de même dans la pyramide SBCD les prismes FGHD, LMNH, PQRN. Alors les deux prismes EFHD, FGHD sont équivalents comme ayant des bases et des hauteurs égales ; de même, les prismes KLNH, OPRN sont équivalents aux prismes LMNH, PQRN chacun à chacun; donc, en désignant par * la somme des prismes intérieurs à la pyramide SABD, et par s' celle des prismes intérieurs à la pyramide SBCD, on a

Maintenant, supposons que le nombre des parties égales de SD augmente indéfiniment et que l’on répète les constructions précédentes; en représentant toujours par s et s' les deux sommes de prismes, on aura constamment

et, si l'on remplace dans cette égalité les quantités variables s, s' par leurs limites (428), il s'ensuit que les deux pyramides SABD, SBCD sont équivalentes.

Remarque. — Au moyen de ce théorème on peut démontrer que toute pyramide a / mur mesure le tiers du produit de sa base />ar sa hauteur ( 431 ), et en conclure que deux pyramides triangulaires sont équivalentes, lorsqu'elles ont des bases équivalentes et même hauteur.

Observation. — Après avoir simplifié notablement, ce me semble, la manièie (l’arriver aux mesures des parallclipipèdcs et des prismes, je me suis demande pendant longtemps s’il ne serait pas possible de simplifier aussi le passage de ces mesures à celle de la pyramide, et j’ai cru avoir levé la difficulté lorsque je suis parvenu à démontrer ce théorème ; car il permet de se passer des théorèmes établis aux n”* 414 et 415, et c’était précisément ce que je cherchais. Mais, après réflexions, et surtout à cause de la difficulté de construire la figure ci-dessus, je me suis décide à adopter dans le texte la méthode ordinaire et à indiquer seulement dans une Note la nouvelle méthode que j’aurais pu suivre.

SUR LA. MESl’KE DU TRONC DE PYRA3SIDE.

On peut obtenir cette mesure en regardant un tronc de pyramide comme la différence de deux pyramides.

Soit le tronc de pyramide ABC abc-, désignons les bases ABC, abc par M‘, m’, les hauteurs SO, So des pyramides SABC, S abc par H, h , et la hauteur du tronc par h'. On aura

ABC abc = SABC - S abc

Maintenant, les bases ABC, abc étant semblables ainsi que les faces SAB, S ah, et le plante divisant les arêtes et la hauteur de la pyramide SABC en parties proportionnelles (-414), on a

AB

SA

donc

et, par suite, d'où l'on tire

=r — —T — X!> ub Sa

H — b ~ et h —

mW M — «

Portant les valeurs de H et de A dans l'égalité volume du tronc par V, il vient

), et représentant le

ou ( voir Note 65)

Y = i //' x -rr—— -

V = ^ A'jM' + Mr/H-m’).

Donc, te tronc de pyramide a /mur mesure le tiers de sa hauteur multiplié par la somme de ses bases et d’une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

Remnn/ue J. — La démonstration précédente s'applique à un tronc de pyramide quelconque.

Reman/ue II. — La formule ci-dessus donne

V = ~ M’A' -f- i rn~ W + i M mW,

NOTES SUR LE LIVRE VI. — NOTE 67. 47y

et, comme ~\\mh‘ est une moyenne géométrique entre ^ M3A' et i ru* h',

il s’ensuit qu'nn tronc (le pyramide quelconque est équivalent à la sununc de trois pyramides dont les deux premières ont /mur hauteur commune celle du tronc cl pour bases, l’une la base inférieure du tronc , l’autre sa base supérieure , et dont ta troisième est moyenne pro/sortionnellc entre les deux autres.

De plus, Mot étant une moyenne géométrique entre M3 et ot3, il en résulte qu'«« tronc de pyramide quelconque est équivalent à ta somme de trois pyramides qui ont chacune /mur hauteur celle du livnc, et qui ont respectivement pour bases, la base inférieure du tronc, la base su/scrieurc et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

Cette dernière proposition peut se démontrer directement pour le tronc de pyramide triangulaire :

Soit le tronc de pyramide ABCDEP, et menons les plans EAC, EDC.

Les deux pyramides EABC, CDEF ont déjà pour hauteur celle du tronc et pour bases respectives les triangles ABC, DEF.

Maintenant, si l'on mène EG parallèle à DA, qui rencontre AB en G, la troisième pyramide EDAC et la pyramide GDAC sont équivalentes comme ayant même base DAC et des hauteurs égales (429). Mais la pyramide GACD peut être regardée comme ayant pour sommet le point D et pour base AGÇ; alors elle a pour hauteur celle du tronc, et il reste à faire voir que la base AGC est moyenne proportionnelle entre ABC et DEF.

Or, les triangles ABC, AGC ont un angle égal BAC; donc ils sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent cet angle (190), et, si l’on remarque en outre qu’ils ont le côté AC commun, que AG = DE, on aura